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    例4 在数列中.an(n∈N*). (Ⅰ)求数列的通项公式, (Ⅱ)若对于一切n>1的自然数.不等式恒成立.试求实数a的取值范围. 解:(Ⅰ)因为.an(n∈N*).a=1.所以an>0. 所以. 所以. 而a1=1.所以. (Ⅱ)设(n∈N*).m 由(Ⅰ)知.所以.所以 .所以 . 所以数列是单调递增数列. 所以当时.bn的最小值为. 所以要使对于一切n>1的自然数.不等式恒成立.则需且只需.则. 所以.解之得. 故所求实数a的取值范围为. 评注 本题(Ⅱ)中的恒成立问题的解决关键.是灵活化归为求数列自第2项起的各项中最小项问题. 体会 求数列中的最大项或最小项.有些题目有多种途径能够解决.一题多解可以开阔思路,有些题目.不是几种方案都能奏效.要有一个尝试判断的思维过程.要能够迅速调整策略,有些题目.借助辅助函数的单调性加以解决.但要注意数列的自变量只有取正整数时才有意义,有些与恒成立有关的参数取值范围问题.可以转化为求数列中的最大项或最小项问题加以处理. 因为数列本身就是一种特殊函数.所以求数列中的最大项或最小项问题.与函数求最大值或最小值的方法有许多相通之外,但也要注意作为特殊函数数列.它的定义域具有鲜明的个性.是正整数集N*(或它的有限子集{1.2.-.n}).这就使得数列的图象是一群孤立的点.求数列中的最大项或最小项问题时.不要忽视这一点. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    在数列中，已知a1=2，an+1=4an－3n＋1，n∈.
    （1）设，求数列的通项公式;
    （2）设数列的前n项和为Sn，证明：对任意的n∈，不等式Sn+1≤4Sn恒成立．

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    在数列中，a1=1，前n项和Sn满足nSn+1-（n+3）Sn=0．
    （1）求{an}的通项公式；
    （2）若，求数列{（-1）nbn}的前n项和Tn；
    （3）求证：．

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    在数列中，已知a1=2，an+1=4an－3n＋1，n∈.

    （1）设，求数列的通项公式;

    （2）设数列的前n项和为Sn，证明：对任意的n∈，不等式Sn+1≤4Sn恒成立．

     

     

     

     

     

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    在数列中{an}，．
    （1）求数列{an}的通项；
    （2）若λan-an+1≤0对任意的正整数N恒成立，求实数λ的取值范围．

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    在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-（n+3）Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*．
    （Ⅰ）求a2，b2的值；
    （Ⅱ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
    （Ⅲ）设Tn=(-1)a1b1+(-1)a2b2+…+(-1)anbn，n∈N*．证明|Tn|＜2n2，n≥3．

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