已知函数f（x）同时满足如下三个条件：①定义域为[-1，1]；②f（x）是偶函数；③x∈[-1，0]时，f(x)=

1

e2x

-

a

ex

，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式，并求出函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）当a≠0，x∈[0，1]时，函数g(x)=(

x2

a

+x-2-

3

a

)[e2x-f(x)]，若g（x）的图象恒在直线y=e上方，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）．

已知函数f（x）=ax²+bx+c满足：f（1）=3，且f（x）在R上为奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n

n

)，若不等式

mn

Sn

＜

mn+1

Sn+1

对n∈N⁺恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=1，an+1=

f(an)

2f(an)+3

；b₁=1，bn+1-bn=

1

an

，记g(n)=

1 a n，(n为奇数) bn，(n为偶数)

，问是否存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由．

已知函数f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；
（2）用函数的单调性的定义证明：当a≤1时，f（x）在区间[1，+∞）上为减函数；
（3）求对于任意a∈[-3，+∞），函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方的实数x的取值范围．

已知函数f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；
（2）用函数的单调性的定义证明：当a=-2时，f（x）在区间(

1

4

，+∞)上为减函数；
（3）当x∈[-1，3]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，求实数a的取值范围．