3．与空间四个点距离相等的平面有个． *4．A.B.C.D是空间不共面的四点．它们到平面α的距离比为:2∶1∶1∶1.满足条件的平面α有＿＿个．生:第1题空间三个平面可能将空间分成4或6或7或8部分．师:请你画图说明你的观点．生: 师:很好.图1.图2.图3.图4依次表示三个平面将空间分成4.6.7.8部分．生:第2题答案是27．师:你给同学们解释一下.答案为什么是27．生:这个粉笔盒近似看成一个正方体.它的上底面与下底之间被分成9部分．同样.上底面上边与下底面下面也各被分成9部分．总计正方体各个面所在的平面将空间分成27部分．师:对于第3小题.需要先证明下面的命题:线段AB与平面α相交.若AB中点C在平面α上.则点A.点B到平面α的距离相等．生A:本题的答案为4.因为经过有公共顶点的三条棱的中点作截面.根据老师刚介绍的引理.可以证明这样的截面符合条件．生B:还有一种情况．刚才生A所作平面使已知四个点中有三个在平面的同一侧.另外一个点在另一侧．我想所作平面两侧各有2个点．如图6．这类平面共有3个.即V.A两点在平面同侧,V.B两点在平面同侧,V.C两点在平面同侧．师:刚才两名同学讲的都很好.相互补充.符合条件的平面共有7个．同学们有不同意见吗? -- 师:刚才两名同学都认为已知四个点不共面.事实上.当这四个点共面时.符合题目要求的平面有无数个．只要与四点所在平面平行的平面都符合要求．生:老师.如果这四个点共线呢? 师:当四个点共线时.只要与这条直线平行的平面均符合条件.这个题目的正确答案应该是7个或无数个．分类讨论的方法不仅在代数课上使用.几何学中也经常使用.此题就是按照图形的不同位置关系进行分类讨论．我们继续讨论第4题．生:我认为仿照第3小题的解答.可提出下面引理:若点A.点B 师:他的猜测是正确的．这个命题的正确性请同学们课下论证．下面我们讨论第4小题的解法．生A:分别延长AB.AC.AD至B1.C1.D1.使BB1=AB.CC1=AC.DD1=AD.如图7.则平面α就是平面B1C1D1．生B:分别在AB.AC.AD上取点B′.C′.D′.使得: 师:分别取BC.CD.DA的中点E.F.G．那么经过EG的任何一个平面都满足:它与B.C.D三点的距离相等.在这些平面中.经过点B′或经过C′D′的平面符合题目要求．(图8) 经过EG有两个平面符合题意．同样.经过EF.FG各有两个平面符合题意.综合以上分析共有8个平面符合题目要求．师:问题5．是否存在一个四面体.它的每个面都是直角三角形?请同学们思考． -- 生A:我找到一个几何体.它的三个面都是直角三角形．如图 9．∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°．生B:我曾经证过生A所给的图中.△ABC是锐角三角形．师:根据两名同学的发言.给我们以下启示:三个面是直角三角形的几个体已经找到,三个直角顶点不能是同一个点! 构造∠VAB=∠VAC=90°.且∠BAC≠90°．再构造∠ACB=90°.同学们不难证明∠VCB=90°．生:是根据三垂线定理．师:空间想象力在不同时期有不同要求．上面这个问题如果是高一第一学期开始让同学们作.那就只有想象或动手制做模型．现在解决它.可以借助我们所学的线面位置关系去寻找解决问题的方法.并且在想象结束时.论证想象的合理性．师,如图11.正方体ABCD-A1B1C1D1.P.Q.R分别在C1D1.CC1.AB上．画出截面PQR与正方体各面的交线．由公理知:PQ 面DC1．因为面AB1∥面DC1.截面与它们相交.交线必平行(根据面面平行的性质定理)．过点R在面AB1中作PQ平行线交AA1于S．PQ交DC于T.TR交BC于E.连结EQ.过S作SF∥EQ交A1D1于F.连FP.则多边形PQERSF的边就是截面PQR与正方体各面的交线．师:同学们请看下面一组题: 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

与空间四个点的距离都相等的平面的个数有

[　　]

A．4个

B．7个

C．无穷个

D．7个或无穷个

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与空间四边形四个顶点距离相等的平面共有

7个

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