（14分）若数列满足，其中为常数，则称数列为等方差数列.已知等方差数列满足成等比数列且互不相等.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和；

    （Ⅲ）是否存在实数，使得对一切正整数，总有成立？若存在，求实数的取值范围，若不存在，说明理由.

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一、选择题

1．D． 2．A.  3．B.  4．C．  5．B.  6．A.

7．C.  8．D.  9．D.  10．C.  11．B. 12．B.

二、填空题：

13．． 14．5.  15．或.   16．②.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

17．本题主要考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力．满分12分.

.

，

，

即时，f(x)单调递增.

   ∴f(x)的单调递增区间为[，].

18．（1）记“编号的和为”的事件，事件所包含的基本事件为、、、、，共5个， ∴

（2）记“甲赢”为事件，事件所包含的基本事件为、、、、、、、、、、、、，共13个， ∴，

19.本题主要考查空间几何体的直观图、三视图，空间线面的位置关系等基础知识；考查空间想像能力及推理论证能力.满分12分.
（Ⅰ）如图

      俯视图

（Ⅱ）所求多面体的体积
.
（Ⅲ）证明：如图，在长方体中，连接，则∥.

因为Ｅ，Ｇ分别为的中点，
所以∥，从而∥.
又，所以∥平面ＥＦＧ.

20. 本题主要考查等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力；考查化归与转化思想．满分12分．

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，则

解得. 

因此，a_n=-1+2（n-1）=2n-3.
（Ⅱ）由已知    （1）得，

当n≥2时，   （2）.

由（1）-（2）得，

所以，又，

故.

在式（1）中，令n=1得，，

又，故.

所以.

21.本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力及化归与转化思想.满分12分.
（Ⅰ）由题设b=，c=2，从而a²=b²+c²=6，
所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）假设斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，使得∠AOB为锐角，

设直线l的方程为y=k(x - 2).

所以满足题意的的直线l存在，斜率k的取值范围为

方法二： 同方法一得到.

所以满足题意的的直线l存在，斜率k的取值范围为

22.本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力及数形结合思想.满分14分.
（Ⅰ）,由得，
    ，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,
.
当时，；
当时，；

时，.
所以的单调增区间是；的单调减区间是.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，且当或时，.
所以的极大值为，极小值为.
又因为,
.

当且仅当，直线与的图象有三个交点.
所以，的取值范围为.