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函数f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

）在一个周期内的图象如图所示，P（x₀，y₀）是图象的最髙点，Q是图象的最低点，M（3，0）是线段PQ与x轴的交点，且cos∠POM=

5

5

，|OP|=

5

．
（I）求出点P的坐标；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y=g（x）的图象，试求函数h（x）=f（x）•g（x）的单调递增区间．试求函数h（x）=f（x）•g（x）的单调递增区间．

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一、选择题：

1. 答案：C. ｛x | x≥0｝,故选C.

2.C

3. （理）对于中，当n＝６时，有所以第２５项是７．选C.

4.D

5.Ａ．　∵

　　　　　　＝，

∴根据题意作出函数图象即得．选A．

6. 答案：Ｄ．当x=1时，y＝m ,由图形易知m<0, 又函数是减函数，所以0<n<1,故选Ｄ．

7.A

8.C

二、填空题：

9.810

10．答案： ．

11. 答案：.

12.

13. （2）、（3）

14.

15．（本题满分分）

已知，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

解：（Ⅰ）由, ，         ………………………2分                                   

 ．                  …………………5分

（Ⅱ） 原式＝             

                              …………………10分

 ．                           …………………12分

16．（本题满分分）

在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．

（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．

解：（Ⅰ）、可能的取值为、、，

  ，，

，且当或时，．          ……………3分

因此，随机变量的最大值为．

有放回抽两张卡片的所有情况有种，

．                             

答：随机变量的最大值为，事件“取得最大值”的概率为．   ………5分

（Ⅱ）的所有取值为．

时，只有这一种情况，

 时，有或或或四种情况，

时，有或两种情况．

，，．              …………11分

则随机变量的分布列为：

因此，数学期望． ……………………13分

17．（本题满分分）

如图，已知正三棱柱―的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．

 （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

解：（Ⅰ）设正三棱柱―的侧棱长为．取中点，连．

是正三角形，．

又底面侧面，且交线为．

侧面．

连，则直线与侧面所成的角为．   ……………2分

在中，，解得．       …………3分

此正三棱柱的侧棱长为．                         ……………………4分

 注：也可用向量法求侧棱长．

（Ⅱ）解法1：过作于，连，

侧面．

为二面角的平面角．           ……………………………6分

在中，，又

，  ．

又

在中，．               …………………………8分

故二面角的大小为．               …………………………9分

解法2：（向量法，见后）

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面．                      …………10分

在中，．         …………12分

为中点，点到平面的距离为．       …………13分

解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离．

解法3：（思路）等体积变换:由可求．

解法4：（向量法，见后）

题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系．

则．

设为平面的法向量．

由 得．

取                                       …………6分

又平面的一个法向量                          …………7分

．   …………8分

结合图形可知，二面角的大小为．         …………9分

（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，…………10分

点到平面的距离＝．13分

18． （本小题满分14分）

一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．

（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；

（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；

（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．

解：（Ⅰ）设的坐标为，则且．……2分

解得，  因此，点 的坐标为．  …………………4分

（Ⅱ），根据椭圆定义，

得，……………5分

，．

∴所求椭圆方程为．                ………………………………7分

（Ⅲ），椭圆的准线方程为．      …………………………8分

设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．

则，．

，         ……………………………10分

令，则，

当，， ，．

 ∴ 在时取得最小值．               ………………………………13分

因此，最小值＝，此时点的坐标为．…………14分

注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．

说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．

19．（本题满分分）

已知数列满足：且，．

（Ⅰ）求，，，的值及数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和；

解：（Ⅰ）经计算，，，．   

当为奇数时，，即数列的奇数项成等差数列，

；                     

当为偶数，，即数列的偶数项成等比数列，

．                           

因此，数列的通项公式为．  

（Ⅱ），                             

   ……（1）

 …（2）

（1）、（2）两式相减，

得     

．

   ．                        

20．（本题满分分）

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

（Ⅰ）设，试求函数的表达式；

（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数

，，使得不等式成立，求的最大值．

解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，

 ，   切线的方程为：，

又切线过点， 有，

即，   ………………………………………………（1）  …… 2分

同理，由切线也过点，得．…………（2）

由（1）、（2），可得是方程的两根，

   ………………（ * ）             ……………………… 4分

           ，

把（ * ）式代入,得,

因此，函数的表达式为．   ……………………5分

（Ⅱ）当点、与共线时，，＝，

即＝，化简，得，

，．       ………………（3）     …………… 7分

把（*）式代入（3），解得．

存在，使得点、与三点共线，且 ．       ……………………9分

（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，

，

则．

依题意，不等式对一切的正整数恒成立，   …………11分

，

即对一切的正整数