（2012•上海）已知双曲线C₁：x2-

y2

4

=1．
（1）求与双曲线C₁有相同焦点，且过点P（4，

3

）的双曲线C₂的标准方程；
（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C₁的两条渐近线于A、B两点．当

OA

•

OB

=3时，求实数m的值．

求下列各曲线的标准方程
（1）长轴长为12，离心率为

2

3

，焦点在x轴上的椭圆；
（2）双曲线 c₁：9x²-16y²=576，双曲线c₂与c₁有共同的渐近线若c₂过点（1，2）求c₂的标准方程．

（2013•安庆三模）已知焦点在x轴上的椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

12

=1和双曲线C₂：

x2

m2

-

y2

n2

=1的离心率互为倒数，它们在第一象限交点的坐标为（

4 10

5

，

6 5

5

），设直线l：y=kx+m（其中k，m为整数）．
（1）试求椭圆C₁和双曲线C₂ 的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C₁交于不同两点A、B，与双曲线C₂交于不同两点C、D，问是否存在直线l，使得向量

AC

+

BD

=

0

，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

如图，双曲线C₁：

x2

4

-

y2

b2

=1与椭圆C₂：

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A₁、A₂第一象限内的点P在双曲线C₁上，线段OP与椭圆C₂交于点A，O为坐标原点．
（I）求证：

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

为定值（其中kAA1表示直线AA₁的斜率，kAA2等意义类似）；
（II）证明：△OAA₂与△OA₂P不相似．
（III）设满足{（x，y）|

x2

4

-

y2

m2

=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|

x2

4

-

y2

3

＞1，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．

（2013•东城区一模）已知F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C₁和圆C₂：x²+y²=c²的一个交点为P，且2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，那么双曲线C₁的离心率为（　　）