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一次高中数学期末考试，选择题共有个，每个选择题给出了四个选项，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 评分标准规定：对于每个选择题，不选或多选或错选得分，选对得分．在这次考试的选择题部分，某考生比较熟悉其中的个题，该考生做对了这个题．其余个题，有一个题，因全然不理解题意，该考生在给出的四个选项中，随机选了一个；有一个题给出的四个选项，可判断有一个选项不符合题目要求，该考生在剩下的三个选项中，随机选了一个；还有两个题，每个题给出的四个选项，可判断有两个选项不符合题目要求，对于这两个题，该考生都是在剩下的两个选项中，随机选了一个选项．请你根据上述信息，解决下列问题：
（Ⅰ）在这次考试中，求该考生选择题部分得分的概率；
（Ⅱ）在这次考试中，设该考生选择题部分的得分为，求的数学期望．

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1．A      2．C       3．B       4．A      5．C       6．C       7．D      8．C       9．D      10．B

1l．B      12．A

1．解析：，故选A．

2．解析：

       ，∴选C．

3．解析：是增函数 

       故，即

       又

       ，故选B．

4．解析：如图作出可行域，作直线，平移直线至位置，使其经过点．此时目标函数取得最大值（注意与反号）

由得

       ，故选A

5．解析：设有人投中为事件，则，

       故选C．

6．解析：展开式中能项；

       由，得，故选C．

7．解析：

       由得

，故选D．

8．略

9．解析：由得准线方程，双曲线准线方程为

       ，解得，

       ，故选D．

10．解析：设正四面体的棱长为2，取中点为，连接，则为与所成的角，在中

，故选B．

11．解析：由题意，则，故选B．

12．解析：由已知，

       为球的直径

       ，又，

       设，则

       ，

       又由，解得

       ，故选A．

另法：将四面体置于正方休中．

       正方体的对角线长为球的直径，由此得，然后可得．

二、

13．解析：在上的投影是．

14．解析：，且．

15．解析：，

       由余弦定理为钝角

       ，即，

       解得．

16．

解析：容易知命题①是错的，命题②、③都是对的，对于命题④我们考查如图所示的正方体，设棱长为，显然与为平面内两条距离为的平行直线，它们在底面内的射影、仍为两条距离为的平行直线，但两平面与却是相交的．

三、

17．解：（1），

              ，

即，故．

       （2）

              由得．

设边上的高为，则

．

18．（1）设甲、乙两人同时参加灾区服务为事件，则．

（2）记甲、乙两人同时参加同一灾区服务为事件，那么．

（3）随机变量可能取得值为1，2，事件“”是指有两人同时参加灾区服务，则，所以．

分布列是

1

2

19．解：（1）平面

              ∵二面角为直二面角，且，

平面              平面．

（2）（法一）连接与高交于，连接是边长为2的正方形，                  ，

二平面，由三垂线定理逆定理得

是二面角的平面角

由（1）平面，

．

在中，

∴在中，

故二面角等于．

（2）（法二）利用向量法，如图以之中点为坐标原点建立空间坐标系，则

              ，

              设平面的法向量分别为，则由

              得，而平面的一个法向理

              故所求二面角等于．

20．解：（1）由题设，即

              易知是首项为、公差为2的等差数列，

              ∴通项公式为，

       （2）由题设，，得是以公比为的等比数列．

              由得．

21．解：（1）由题意，由抛物线定义可求得曲线的方程为．

（2）证明：设、的坐标分别为

             若直线有斜率时，其坐标满足下列方程组：

              ，        

              若没有斜率时，方程为．

              又．

              ；又，

                          ．

22．（1）解：，于是，

              解得或

              因，故．

（2）证明：已知函数都是奇函数．

所以函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形，而．

可知．函数的图象按向量平移，即得到函数的图象，故函数的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形，

（3）证明；在曲线上作取一点，

       由知，过此点的切线方程为

．

令，得，切线与直线交点为．

令，得切线与直线交点为，直线与直线与直线的交点为（1，1）．

从而所围三角形的面积为        

所以，围成三角形的面积为定值2．

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