题目列表(包括答案和解析)
的左焦点为
,离心率e=
,M、N是椭圆上的动点。
，直线OM与ON的斜率之积为
，问：是否存在定点
，使得
为定值？，若存在，求出
的坐标，若不存在，说明理由。
在第一象限，且点
关于原点对称，点
在
轴上的射影为
，连接
并延长交椭圆于点
，证明：
；
,
是椭圆
左右焦点，它的离心率
，且被直线
所截得的线段的中点的横坐标为
是其椭圆上的任意一点，当
为钝角时，求
的取值范围。已知
,
是椭圆
左右焦点，它的离心率
，且被直线
所截得的线段的中点的横坐标为
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设
是其椭圆上的任意一点，当
为钝角时，求
的取值范围。
【解析】解：因为第一问中，利用椭圆的性质由
得
所以椭圆方程可设为：
，然后利用
得
得
椭圆方程为
第二问中，当为钝角时，
,
得
所以
得
解：（Ⅰ）由得
所以椭圆方程可设为：
3分
得得
椭圆方程为 3分
（Ⅱ）当为钝角时，,
得
3分
所以
得
已知
是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P
在椭圆上，线段
与y轴的交点M满足
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 圆O是以
为直径的圆，直线
：
与圆相切，并与椭圆交于不同的两点
,当
,且满足
时，求直线的方程。
已知
是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P
在椭圆上，线段
与y轴的交点M满足
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 圆O是以
为直径的圆，直线
：
与圆相切，并与椭圆交于不同的两点
,当
,且满足
时，求直线的方程。
一、选择题（4′×10=40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
C
D
C
A
A
B
A
三、填空题（4′×4=16分）
11．
12．
13．
14．
三、解答题（共44分）
15．①解：原不等式可化为：
………………………2′
作根轴图：
………………………4′
可得原不等式的解集为：
………………………6′
②解：直线
的斜率
………………………2′
∵直线
与该直线垂直
∴
………………………4′
则的方程为：
………………………5′
即
为所求………………………6′
16．解：∵
∴
，
且
………………………1′
于是
………………………3′
………………………4′
………………………5′
当且仅当：
即
………………………6′
时，
………………………7′
17．解：将
代入
中变形整理得：
………………………2′
首先
且
………………………3′
设
由题意得：
解得：
或
（舍去）………………………5′
由弦长公式得：
………………………7′
18．解①设双曲线的实半轴，虚半轴分别为
，
由题得：
∴
………………………1′
于是可设双曲线方程为：
………………………2′
将点
代入可得：
，
∴该双曲线的方程为：
………………………4′
②直线方程可化为：
，
则它所过定点
代入双曲线方程：得：
∴
………………………6′
又由得
，
∴
，
或
，
…………7′
∴
∴
……………………8′
19．解：①设中心
关于的对称点为
，
则
解得：
∴
，又点
在左准线
上，
轴
∴的方程为：
……………………4′
②设
、
、
、
∵
、
、
成等差数列，
∴
，
即：
亦：
∴
……………………6′
∴
由
得
……………………8′
∴
， ∴
又由
代入上式得：
∴
，
∴
……………………9′
∴
，
，
∴椭圆的方程为：
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