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    3．空间图形是由点.线.面组成的 点.线.面的基本位置关系如下表所示: 图形 符号语言 文字语言 点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线.交于点 直线在平面内 直线与平面无公共点 直线与平面交于点 平面.相交于直线 (平面外的直线)表示或 4平面的基本性质 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内.那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式:． 如图示: 应用:是判定直线是否在平面内的依据.也可用于验证一个面是否是平面． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直 来刻划平面的“平 .通过直线的“无限延伸 来描述平面的“无限延展性 .它既是判断直线在平面内.又是检验平面的方法． 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推理模式:且且唯一如图示: 应用:①确定两相交平面的交线位置,②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征.是判定两平面相交的依据.提供了确定两个平面交线的方法． 公理3 经过不在同一条直线上的三点.有且只有一个平面 推理模式:不共线存在唯一的平面.使得 应用:①确定平面,②证明两个平面重合 “有且只有一个 的含义分两部分理解.“有 说明图形存在.但不唯一.“只有一个 说明图形如果有顶多只有一个.但不保证符合条件的图形存在.“有且只有一个 既保证了图形的存在性.又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中.“确定一个 .“可以作且只能作一个 与“有且只有一个 是同义词.因此.在证明有关这类语句的命题时.要从“存在性 和“唯一性 两方面来论证． 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 推理模式:存在唯一的平面.使得. 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式:存在唯一的平面.使得 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 推理模式:存在唯一的平面.使得 5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内.则称这个图形为平面图形.否则称为空间图形 题型讲解 例1 如下图.四面体ABCD中.E.G分别为BC.AB的中点.F在CD上.H在AD上.且有DF∶FC=2∶3.DH∶HA=2∶3 求证:EF.GH.BD交于一点 分析:只要证明点E.F.G.H分别所在的直线EG和HF平行.由公理的推论3就可知它们共面在△ABD和△CBD中.由E.G分别是BC和AB的中点及可得EGAC.HFAC.所以EG∥HF, 直线EF.GH是梯形的两腰.所以它们的延长线必相交于一点P.因此.要证三条直线EF.GH.BD交于一点.只要证点P在直线AC上即可 事实上.由于BD是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线.而点P是上述两平面的公共点.由公理2知PBD 证法一:连结GE.HF. ∵E.G分别为BC.AB的中点. ∴GE∥AC 又∵DF∶FC=2∶3.DH∶HA=2∶3. ∴HF∥AC∴GE∥HF 故G.E.F.H四点共面 又∵EF与GH不能平行. ∴EF与GH相交.设交点为P 则P∈面ABD.P∈面BCD.而平面ABD∩平面BCD=BD ∴EF.GH.BD交于一点 证法二: 由 ∴ .从而∥ 故G.E.F.H四点共面 又∵EF与GH不能平行. ∴EF与GH相交.设交点为P 则P∈面ABD.P∈面BCD.而平面ABD∩平面BCD=BD ∴EF.GH.BD交于一点 点评:证明线共点.常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法.而第三条直线又往往是两平面的交线 例2 已知n条互相平行的直线l1,l2,l3-,ln分别与直线l相交于点A1.A2.-.An.求证:l1,l2,l3-,ln与l共面 分析:证明多条直线共面.先由两条确定一个平面.再证其它直线在这个平面内.或者分别由两条直线确定几个平面.再证这些平面重合 证法一:因为l1l=A1,所以l1与l确定平面α.设lk是与l1平行的直线中的任一条直线.且lkl=Ak,则,Ak, lk∥l1,设lk与l1确定平面.则,Ak,因此l1与Ak既在平面内又在平面内.根据公理的推论1知过l1和其外一点的平面有且只有一个.所以重合.从而由lk的任意性知l1,l2,l3-,ln共面 证法二:l1∥l2,l1∥l3 直线l1和l2及直线l1和l3分别确定一个平面 l1l=A1, l2l=A2, l3l=A3, A1,A2,A2,A3,l,且l, α和β都是过相交直线l1和l的平面.而过两相交直线的平面有且只有一个 l1,l2,l3,l共面.同理可证l4,l5,-,ln都在由直线l1和l所确定的平面内 例3 如图.已知四边形ABCD中.AB∥CD.四条边AB.BC.DC.AD分别与平面α相交于E.F.G.H四点.求证:四点E.F.G.H共线 证明:AB∥CD. AB.CD确定一个平面β. 易知AB.BC.DC.AD都在β内. 由平面的性质可知四点E.F.G.H都在β上. 因而.E.G.G.H必都在平面α与β的交线上. 所以四点E.F.G.H共线 例4 如图.在一封闭的正方体容器内装满水.M.N分别是AA1与C1D1的中点.由于某种原因.在D.M.N三点处各有一个小洞.为使此容器内存水最多.问应将此容器如何放置?此时水的上表面的形状怎样? 解:使过三点M.N.D的平面成为水平面时.容器内存水最多.至于水表面的形状.实质上就是过M.N.D三点所作正方体的截面的形状 连结DM并延长DM交D1A1的延长线于P. 则点P既在截面内又在底面A1B1C1D1内. 连结PN交A1B1于E.连ME.ND. 则过M.N.D的截面就是四边形DMEN. 易证ME∥DN且MEDN.因而它是一个梯形 小结: 1证明“线共点 的方法.一般是先证两条直线相交于一点.然后再证其它的直线过这一点 2证明“线共面 的问题.一般先由公理3或推论确定一个平面.再证明其它的直线在这个平面内 3证明“点共线 的方法.一般都是通过证这些点在某两个平面的交线上来解决 4作几何体的截面图时.常利用平面的性质.设法确定所作截面上的关键点.从而确定截面图形 学生练习 1将命题“P∈l,Q∈l,且P∈α.Q∈αlα 用文字语言表述是 2若平面α∩平面β=直线l.点A∈α.A∈β则点 l ,其理由是 3下列命题中正确的是( ) A空间不同的三点确定一个平面 B空间两两相交的三条直线确定一个平面 C空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 4一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一底角为45°.腰和上底的长均为1的等腰梯形.那么原四边形的面积是 A2+ B1+ C D 5E.F.G.H是三棱锥A-BCD的棱AB.AD.CD.CB上的点.延长EF.HG交于P点.则点P A 一定在直线AC上 B 一定在直线BD上 C只在平BCD内 D只在平面ABD内 6空间三条直线中的一条直线与其它两条都相交.那么由这三条直线最多可确定平面的个数是个 A1 B 2 C 3 D4 7用一个平面截一个正方体.其截面是一个多边形.则这个多边形边数最多是( ) A 三 B四 C 六 D八 8 “直线上有一点在平面内 是“这条直线在这个平面内 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 9已知空间四点中无任何三点共线.那么这四点可以确定平面的个数是 10下列说法正确的是 1空间四边形的对角线一定不相交 2 四个角都是直角的四边形一定是平面图形 3两两相交的三条直线一定共面 4 在空间的四点.若无三点共线.则这四点一定不共面 11已知直线c和d与异面直线a,b都相交.则由直线c,d可确定的平面的个数为 12不重合的三个平面把空间分成n个部分则n的可能值是 13已知不共面的三条直线a,b,c两两相交.求证:这三条直线交于一点 14已知A,B,C是空间不共线的三点.画直线AB,BC,CA设X,Y,Z分别表示直线BC,CA,AB上的任意一点.试问直线AX,BY,CZ是否共面?并证明你的结论 【查看更多】

     

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