如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N．现将圆形纸片放在平面直角坐标系xoy中，设圆C：（x+1）²+y²=4a²（a＞1），A（1，0），记点N的轨迹为曲线E．
（1）证明曲线E是椭圆，并写出当a=2时该椭圆的标准方程；
（2）设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离心率e∈[

1

2

，

3

2

]，求点Q的纵坐标的取值范围．

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设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），左准线l₁与x轴交于点N（-3，0），过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求直线l和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上；
（3）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F₁的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

D

A

C

B

A

C

B

C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中12题的第一个空3分，第二

个空2分.

11..     12..     13..     14..

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.

15．解：(1) 根据题意，可知，，即.  ……………………………2分

于是.  ………………………………………………………………………………………………3分

将点代入，得

即.     …………………………………………………………5分

满足的最小正数.  ……………………………………………………………7分

从而所求的函数解析式是.    ……………………………………………8分

(2)略.（振幅变换1分.周期变换、相位变换做对一个2分，全对3分）   ……12分

16．解：显然是随机变量.

(1)..  …………………………………6分

    (2)由的期望为，得

，即. …………………9分

    根据表中数据，得，即. ………………………………………………11分

    联立解得. …………………………………………………………………………………………12分

17.解：(1)连结PQ，AQ.

∵△PCD为正三角形，  ∴PQ⊥CD.

∵底面ABCD是∠ADC的菱形，∴AQ⊥CD.

∴CD⊥平面PAQ.  ………………………………………………………………………………………………4分

∴PA⊥CD.

(2)设平面CDM交PA于N，∵CD//AB，  ∴CD//平面PAB.  ∴CD//MN.

由于M为PB的中点，∴N为PA的中点.

又PD=CD=AD，∴DN⊥PA.

    由(1)可知PA⊥CD，

∴PA⊥平面CDM.  ………………………………………………………………………………………………8分

∴平面CDM⊥平面PAB.

∵PA⊥平面CDM，联接QN、QA，则ÐAQN为AQ与平面CDM所成的角.  ……10分

在RtDPMA中，AM=PM=，

∴AP=，∴AN=，sinÐAQN==.

∴ÐAQN =45°.  …………………………………………………………………………………………………14分

(2)另解（用空间向量解）：

由(1)可知PQ⊥CD，AQ⊥CD.

又由侧面PDC⊥底面ABCD，得PQ⊥AQ.

因此可以如图建立空间直角坐标系. ………………………………………………………6分

易知P(0 , 0 ,)、A(, 0 , 0)、B(, 2 , 0)、

C（0 , 1 , 0）、D（0 , -1 , 0）. ………………………………………………………………………………7分

①由=（, 0 , -），=（0 , -2 , 0），得×=0.

∴PA⊥CD. ……………………………………………………………………………………………………………9分

②由M（, 1 , -），=（, 0 , -），得×=0.

∴PA⊥CM . …………………………………………………………………………………………………………10分

∴PA⊥平面CDM，即平面CDM⊥平面PAB.

从而就是平面CDM的法向量. ………………………………………………………………………12分

设AQ与平面所成的角为q ，

则sinq =|cos<,>|=.

∴AQ与平面所成的角为45°. ……………………………………………………………………………14分

18．解：(1)根据题意，有解，

∴即. ……………………………………………………………………………3分

(2)若函数可以在和时取得极值，

则有两个解和，且满足.

易得.  ………………………………………………………………………………………………6分

(3)由(2)，得. ………………………………………………………………7分

根据题意，()恒成立.  ……………………………………………9分

∵函数（）在时有极大值（用求导的方法），

且在端点处的值为.

∴函数（）的最大值为.   …………………………13分

所以. …………………………………………………………………………………………………………14分

19．解：(1)由于椭圆过点，

    故. ………………………………………………………………………………………………………………1分

,横坐标适合方程

解得(即)．………………………………………………………4分

即,横坐标是(即).……………………………………5分

(2)根据题意，可设抛物线方程为．  …………………6分

∵，∴．………………………………………………………………7分

把和（等同于,坐标（，））代入式抛物线方

程，得. ……………………………………9分

令．……………………………………10分

则内有根（并且是单调递增函数），

∴………………………………………………………………13分

解得． …………………………………………………………………………………………14分

(注：未得到，后续解答若过程正确可酌情给一半分)

20．解：（1）∵f₁(0)=2，a₁==，f_n+1(0)= f₁［f_n(0)］=, …………2分

∴a_n+1==== -= -a_n. ……………4分

∴数列｛a_n｝是首项为,公比为-的等比数列，∴a_n=()^n-1.  ………………5分

（2）∵T_{2 n} = a₁+2a ₂+3a ₃+…+(2n-1)a _{2 n-1}+2na _{2 n}，

∴T_{2 n}= (-a₁)+(-)2a ₂+(-)3a ₃+…+(-)(2n-1)a_{2 n－1}+2na_{2 n}

= a ₂+2a ₃+…+(2n－1)a_{2 n}－na_{2 n}.

两式相减，得T_{2 n}= a₁+a₂+a ₃+…+a_{2 n}+na_{2 n}.  ……………………………………………………7分

∴T_2n =+n×(-)^2n-1=-(-)²ⁿ+(-)^2n-1.

T_2n =-(-)²ⁿ+(-)^2n-1=(1-).    …………………………………………………9分

∴9T_2n=1-.

又Q_n=1-， ……………………………………………………………………………………………10分

当n=1时，2^{2 n}= 4,(2n+1)²=9,∴9T_{2 n}＜Q _n；  ……………………………………………………11分

当n=2时，2^{2 n}=16,(2n+1)²=25,∴9T_{2 n}＜Q_n；   …………………………………………………12分

当n≥3时，，

∴9T_{2 n}＞Q _n. …………………………………………………………………………………………………………14分