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（A）（不等式选讲）不等式log₃（|x-4|+|x+5|）＞a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是

 

；
（B） （几何证明选讲）如图，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC內接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，则正方形DEFC的边长等于

 

；
（C） （极坐标系与参数方程）曲线ρ=2sinθ与ρ=2cosθ相交于A，B两点，则直线AB的方程为

 

．

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（A）（不等式选做题）不等式|x+1|-|x-2|＞2的解集为

(

3

2

，+∞)

(

3

2

，+∞)

．
（B）（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为6cm，8cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则AD=

18

5

(或3.6)

18

5

(或3.6)

cm．
（C）（坐标系与参数方程选做题）圆C的参数方程

x=1+cosα y=1-sinα

（α为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，则直线l与圆C的交点的直角坐标是

（0，1），或（2，1）

（0，1），或（2，1）

．

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数   学（理科）    2009.4

一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

A

B

B

A

C

C

B

B

二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．

11． －1   12． 110   13． 78   14．  15．  16． 7   17．

三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（Ⅰ）解：．……………………… 4分

由，解得 ．

所以函数的单调递增区间为 ．…………… 7分

（Ⅱ）解：由，得．故．……………… 10分

于是有 ，或，

即或．因，故．……………… 14分

19．（Ⅰ）解：恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形：

开心心，心开心，心心开，心心乐．

则恰好摸到2个“心”字球的概率是

．………………………………………6分

（Ⅱ）解：，

则 ，，

．…………………………………………10分

故取球次数的分布列为

1

2

3

．…………………………………………………14分

20．（Ⅰ）解：因在底面上的射影恰为B点，则⊥底面．

所以就是与底面所成的角．

因，故 ，

即与底面所成的角是．……………………………………………3分

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则

，

，．

则，

故与棱BC所成的角是．…………………………………………………7分

（Ⅱ）解：设，则．于是

（舍去），

则P为棱的中点，其坐标为．…………………………………………9分

设平面的法向量为，则

，故．…………………11分

而平面的法向量是，

则，

故二面角的平面角的余弦值是．………………………………14分

21．（Ⅰ）解：由题意知：，，，解得．

故椭圆的方程为．…………………………………………………5分

   （Ⅱ）解：设，

⑴若轴，可设，因，则．

由，得，即．

若轴，可设，同理可得．……………………7分

⑵当直线的斜率存在且不为0时，设，

由，消去得：．

则．………………………………………9分

．

由，知．

故 ，即（记为①）．…………11分

由，可知直线的方程为．

联立方程组，得 （记为②）．……………………13分

将②代入①，化简得．

综合⑴、⑵，可知点的轨迹方程为.………………………15分

22．（Ⅰ）证明：当时，．令，则．

若，递增；若，递减，

则是的极（最）大值点．于是

，即．故当时，有．………5分

（Ⅱ）解：对求导，得．

①若，，则在上单调递减，故合题意．

②若，．

则必须，故当时，在上单调递增．

③若，的对称轴，则必须，

故当时，在上单调递减．

综合上述，的取值范围是．………………………………10分

（Ⅲ）解：令．则问题等价于

        找一个使成立，故只需满足函数的最小值即可．

        因，

而，

故当时，，递减；当时，，递增．

于是，．

与上述要求相矛盾，故不存在符合条件的．……………………15分