已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围．
（2）是否存在实数a，使得f′（x）=x的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=x（x-c）²在x=2处有极大值．
（1）求c的值；
（2）若x∈[0，9]，求函数f（x）的最值
（3）是否存在实数k，使得对?x₁，x₂∈[0，9]恒有f（x₁）-f（x₂）＜k成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=2x²+ax，g（x）=lnx，F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）若F（x）在x=1处取得极小值，求F（x）的极大值；
（Ⅱ）若F（x）在区间(0，

1

4

)上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=3，问是否存在与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线？若存在，判断有几条？并加以证明，若不存在，说明理由．

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在x=1处有极值．
（1）求实数a值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+e²-14≤f（x）对任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．（e=2.71828…）