已知椭圆C．：以抛物线的焦点为焦点，且短轴一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形，那么椭圆C．的离心率为       （    ）

    A．           B．         C．         D．

 

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，上、下顶点分别为A₁，A₂，椭圆上的点到上焦点F₁的距离的最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）以原点为顶点，F₁为焦点的抛物线上的点P（非原点）处的切线与x轴，y轴分别交于Q、R两点，若

PQ

=λ

PR

，求λ的值．
（3）是否存在过点（0，m）的直线l，使得l与椭圆相交于A、B两点（A、B不是上、下顶点）且满足

A1A

•

A1B

=0，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率e=

2

2

，且其中一个焦点与抛物线y=

1

4

x2的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-

1

3

，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的某个焦点为F，双曲线G：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的某个焦点为F．
（1）请在上补充条件，使得椭圆的方程为

x2

3

+y2=1；友情提示：不可以补充形如a=

3

，b=1之类的条件．
（2）命题一：“已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，定点P（m，n）满足n²-2pm＞0，以PF为直径的圆交y轴于A、B，则直线PA、PB与抛物线相切”．命题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线P（x，y），定点P，以PF为直径的圆交F（0，1）轴于A、B，PA、PB与抛物线相切．试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题；
（3）证明命题一的正确性．