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已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为

π

3

的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．
（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求

PM

•

PF

的最小值；
（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．

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已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点A（a，4）到其准线的距离为

17

4

．
（Ⅰ）求p与a的值；
（Ⅱ）设抛物线C上动点P的横坐标为t（0＜t＜2），过点P的直线交C于另一点Q，交x轴于M点（直线PQ的斜率记作k）．过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN恰好是C的切线，问k²+tk-2t²是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

ACDDB CDC

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

（9）62        （10）2        （11）         （12）2，

（13）    （14），③④

三、解答题（本大题共6小题,共80分）

(15)（本小题共13分）

解：（Ⅰ）∵（），

∴（）.                ………………………………………1分

∵，，成等差数列，

∴.                                  ………………………………………3分

∴.                                     ………………………………………5分

∴.                                             ………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

（）.

∴数列为首项是，公差为1的等差数列.         ………………………………………8分

∴.

∴.                                         ………………………………………10分

当时，.      ………………………………………12分

当时，上式也成立.                             ………………………………………13分

∴（）.

（16）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）该间教室两次检测中，空气质量均为A级的概率为.………………………………2分

该间教室两次检测中，空气质量一次为A级，另一次为B级的概率为.

                                                          …………………………………4分

设“该间教室的空气质量合格”为事件E.则                    …………………………………5分

.                              …………………………………6分

答：估计该间教室的空气质量合格的概率为.

（Ⅱ）由题意可知，的取值为0，1，2，3，4.                …………………………………7分

.

随机变量的分布列为：

0

1

2

3

4

                                                        …………………………………12分

解法一：

∴.    …………………………………13分

解法二：，

∴.                                       …………………………………13分

（17）（本小题共14分）

（Ⅰ）证明：设的中点为.

在斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点,

     平面ABC.         ……………………1分

平面，

.               ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.       ……………………4分

平面，

    平面平面.                          ………………………………………5分

解法一：（Ⅱ）连接，平面，

是直线在平面上的射影.          ………………………………………5分

，

四边形是菱形.

.                                   ………………………………………7分

.                                   ………………………………………9分

（Ⅲ）过点作交于点，连接.

，

平面.

.

是二面角的平面角.               ………………………………………11分

设，则，

.

.

.

.

平面，平面，

.

.

在中，可求.

∵，∴.

∴.

.                   ………………………………………13分

.

∴二面角的大小为.             ………………………………………14分

解法二：（Ⅱ）因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为，则平面ABC.以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，由题意可知，.

设，由，得

………………………………………7分

.

  又.

.

.                                              ………………………………………9分

（Ⅲ）设平面的法向量为.

则

∴

.

设平面的法向量为.则

∴

.                                   ………………………………………12分

.                        ………………………………………13分

二面角的大小为.           ………………………………………14分

（18）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）函数的定义域为．                 ………………………………………1分

.             ………………………………………3分

由，解得.

由，解得且．

∴的单调递增区间为，单调递减区间为，．

………………………………………6分

（Ⅱ）由题意可知，，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立．                             ………………………………………7分

若即时，

x

a+1

-

0

+

ㄋ

极小值

ㄊ

∴在上的最小值为．

则，得．                           ………………………………………10分

若即时，在上单调递减，则在上的最小值为．

由得（舍）．                            ………………………………………12分

综上所述，．                               ………………………………………13分

（19）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由抛物线C:得抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为：，.                                       ………………………………………1分

由得.

所以，.因为， …………………………………3分

所以.

所以.即.

所以直线的方程为：或.           ………………………………………5分

（Ⅱ）设，，则.

由得.

因为，所以，. ……………………………………7分

   （?）设，则.

  由题意知：∥，.

即.

  显然      ………………………………………9分

（?）由题意知：为等腰直角三角形，，即，即.

. .

.，.                      ………………………………………11分

  .

即的取值范围是.                           ………………………………………13分

（20）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）取，得，即.

因为，所以.                         ………………………………………1分

取，得.因为，所以.

取，得，所以.

                                                    ………………………………………3分

（Ⅱ）在中取得.

所以.

在中取，得.

在中取，

得.

所以.

在中取，

得.

所以.

在中取，

得

         .

所以对任意实数均成立.

所以.                        ………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

在中，

取，得，即  ①

取，得 ②

取，得，即 ③

②+①得，②+③得.

.

将代入①得.

将代入②得.

.

由（Ⅱ）知，所以对一切实数成立.

故当时，对一切实数成立.

存在常数，使得不等式对一切实数成立，且为满足题设的唯一一组值.                   ………………………………………14分

说明：其它正确解法按相应步骤给分.