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    关于排列.组合问题的求解.应掌握以下基本方法与技巧 (1)特殊元素优先安排,(2)合理分类与准确分步,(3)排列.组合混合问题先选后排,(4)相邻问题捆绑处理,(5)不相邻问题插空处理,(6)定序问题排除法处理,(7)分排问题直排处理,(8)“小集团 排列问题先整体后局部,正难则反.等价转化. 拓展题例 [例1] (1)一条长椅上有9个座位.3个人坐.若相邻2人之间至少有2个空椅子.共有几种不同的坐法? (2)一条长椅上有7个座位.4个人坐.要求3个空位中.恰有2个空位相邻.共有多少种不同的坐法? 解:与4张空椅子排列如图.这时共占据了7张椅子.还有2张空椅子.一是分开插入.如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓).从4个空当中选2个插入.有C种插法,二是2张同时插入.有C种插法.再考虑3人可交换有A种方法. 所以.共有A(C+C)=60(种). 下面再看另一种构造方法: 先将3人与2张空椅子排成一排.从5个位置中选出3个位置排人.另2个位置排空椅子.有AC种排法.再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间.只有1种插法.所以所求的坐法数为A·C=60. (2)可先让4人坐在4个位置上.有A种排法.再让2个“元素 (一个是两个作为一个整体的空位.另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空当 之间.有A种插法.所以所求的坐法数为A·A=480. [例2] 已知1<m<n.m.n∈N*.求证:(1+m)n>(1+n)m. 证法一:由二项式定理(1+m)n=Cm0+Cm1+-+Cmn. (1+n)m=Cn0+Cn1+-+C. 又因为C=.C=. 而Ami>A.所以Cm2>C.C>Cn3.-.C>C. 又因为C=C.C=C. 所以(1+m)n>(1+n)m. 证法二:(1+m)n>(1+n)m nln(1+m)>mln(1+n) >. 令f(x)=.x∈［2.+∞］. 只要证f(x)在［2.+∞］上单调递减.只要证f ′(x)<0. f ′(x)==. 当x≥2时.x-lg(1+x)<0. x2(1+x)>0.得f ′(x)<0.即x∈［2,+∞］时.f ′(x)<0. 以上各步都可逆推.得(1+m)n>(1+n)m. 【查看更多】

     

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