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    数学归纳法在考试中时隐时现.且较隐蔽.因此在复习中应引起重视.只要与自然数有关.都可考虑数学归纳法.当然主要是恒等式.等式.不等式.整除问题.几何问题.三角问题.数列问题等联系得更多一些. 拓展题例 [例1] 是否存在正整数m.使得f(n)=(2n+7)·3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在.求出最大的m值.并证明你的结论;若不存在.请说明理由. 解:由f(n)=(2n+7)·3n+9.得f(1)=36. f(2)=3×36. f(3)=10×36. f(4)= 34×36.由此猜想m=36. 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时.显然成立. (2)假设n=k时. f(k)能被36整除.即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;当n=k+1时.［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1). 由于3k-1-1是2的倍数.故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说.当n=k+1时.f(n)也能被36整除. 由可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除.m的最大值为36. [例2] 如下图.设P1.P2.P3.-.Pn.-是曲线y=上的点列.Q1.Q2.Q3. -.Qn.-是x轴正半轴上的点列.且△OQ1P1.△Q1Q2P2.-.△Qn-1QnPn.-都是正三角形.设它们的边长为a1.a2.-.an.-.求证:a1+a2+-+an=n(n+1). 证明:(1)当n=1时.点P1是直线y=x与曲线y=的交点. ∴可求出P1(.). ∴a1=|OP1|=.而×1×2=.命题成立. (2)假设n=k(k∈N*)时命题成立.即a1+a2+-+ak=k(k+1).则点Qk的坐标为(k(k+1).0). ∴直线QkPk+1的方程为y=[x-k(k+1)].代入y=.解得Pk+1点的坐标为 ∴ak+1=|QkPk+1|=(k+1)·=(k+1). ∴a1+a2+-+ak+a k+1=k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+2). ∴当n=k+1时.命题成立. 由可知.命题对所有正整数都成立. 评述:本题的关键是求出Pk+1的纵坐标.再根据正三角形高与边的关系求出|QkP k+1|. 【查看更多】

     

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