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    若直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点.则m.n满足的关系式为 ,以(m.n)为点P的坐标.过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有 个. 解析:将直线mx+ny-3=0变形代入圆方程x2+y2=3.消去x.得 (m2+n2)y2-6ny+9-3m2=0. 令Δ<0得m2+n2<3. 又m.n不同时为零. ∴0<m2+n2<3. 由0<m2+n2<3.可知|n|<.|m|<. 再由椭圆方程a=.b=可知公共点有2个. 答案:0<m2+n2<3 2 ●典例剖析 [例1] 如图.O为坐标原点.直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0.b≠0).且交抛物线y2=2px(p>0)于M(x1.y1).N(x2.y2)两点. (1)写出直线l的截距式方程, (2)证明:+=, (3)当a=2p时.求∠MON的大小. 剖析:易知直线l的方程为+=1.欲证+=.即求的值.为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2.y1y2的值.进而证得+=.由·=0易得∠MON=90°.亦可由kOM·kON=-1求得∠MON=90°. (1)解:直线l的截距式方程为+=1. ① (2)证明:由①及y2=2px消去x可得by2+2pay-2pab=0. ② 点M.N的纵坐标y1.y2为②的两个根.故y1+y2=.y1y2=-2pa. 所以+===. (3)解:设直线OM.ON的斜率分别为k1.k2. 则k1=.k2=. 当a=2p时.由(2)知.y1y2=-2pa=-4p2. 由y12=2px1.y22=2px2.相乘得(y1y2)2=4p2x1x2. x1x2===4p2. 因此k1k2===-1. 所以OM⊥ON.即∠MON=90°. 评述:本题主要考查直线.抛物线等基本知识.考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力. [例2] (2005年黄冈高三调研考题)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0).双曲线-=1的两条渐近线为l1.l2.过椭圆C的右焦点F作直线l.使l⊥l1.又l与l2交于P点.设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A.B. (1)当l1与l2夹角为60°.双曲线的焦距为4时.求椭圆C的方程, (2)当=λ时.求λ的最大值. 剖析:(1)求椭圆方程即求a.b的值.由l1与l2的夹角为60°易得=.由双曲线的距离为4易得a2+b2=4.进而可求得a.b. (2)由=λ.欲求λ的最大值.需求A.P的坐标.而P是l与l1的交点.故需求l的方程.将l与l2的方程联立可求得P的坐标.进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值. 解:(1)∵双曲线的渐近线为y=±x.两渐近线夹角为60°. 又<1. ∴∠POx=30°.即=tan30°=. ∴a=b. 又a2+b2=4. ∴a2=3.b2=1. 故椭圆C的方程为+y2=1. (2)由已知l:y=(x-c).与y=x解得P(.). 由=λ得A(.). 将A点坐标代入椭圆方程得 (c2+λa2)2+λ2a4=(1+λ)2a2c2. ∴(e2+λ)2+λ2=e2(1+λ)2. ∴λ2==-［(2-e2)+］+3≤3-2. ∴λ的最大值为-1. 评述:本题考查了椭圆.双曲线的基础知识.及向量.定比分点公式.重要不等式的应用.解决本题的难点是通过恒等变形.利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题. [例3] 设椭圆中心是坐标原点.长轴在x轴上.离心率e=.已知点P(0.)到这个椭圆上的点的最远距离是.求这个椭圆方程.并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标. 剖析:设椭圆方程为+=1.由e=知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2.然后将距离转化为y的二次函数.二次函数中含有一个参数b.在判定距离有最大值的过程中.要讨论y=-是否在y的取值范围内.最后求出椭圆方程和P点坐标. 解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是+=1.其中a＞b＞0待定. 由e2===1-()2可知===.即a=2b. 设椭圆上的点(x.y)到点P的距离为d.则d2=x2+(y-)2=a2(1-)+y2-3y+= 4b2-3y2-3y+=-3(y+)2+4b2+3.其中-b≤y≤b. 如果b＜.则当y=-b时d2(从而d)有最大值.由题设得()2=(b+)2.由此得b=-＞.与b＜矛盾. 因此必有b≥成立.于是当y=-时d2(从而d)有最大值.由题设得()2=4b2+3.由此可得b=1.a=2. 故所求椭圆的直角坐标方程是+y2=1. 由y=-及求得的椭圆方程可得.椭圆上的点(-.-).点(.-)到点P的距离都是. 解法二:根据题设条件.设椭圆的参数方程是 其中a＞b＞0待定.0≤θ＜2π. x=acosθ. y=bsinθ. ∵e=. ∴a=2b. 设椭圆上的点(x.y)到点P的距离为d.则 d2=x2+(y-)2=a2cos2θ+(bsinθ-)2=-3b2·(sinθ+)2+4b2+3. 如果＞1.即b＜.则当sinθ=-1时.d2(从而d)有最大值.由题设得()2=(b+) 2.由此得b=-＞.与b＜矛盾. 因此必有≤1成立.于是当sinθ=-时.d2(从而d)有最大值.由题设得()2=4b2+3. 由此得b=1.a=2.所以椭圆参数方程为 x=2cosθ. y=sinθ. 消去参数得+y2=1.由sinθ=.cosθ=±知椭圆上的点(-.-).(.-)到P点的距离都是. 评述:本题体现了解析几何与函数.三角知识的横向联系.解答中要注意讨论. 深化拓展 根据图形的几何性质.以P为圆心.以为半径作圆.圆与椭圆相切时.切点与P的距离为.此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试. 提示:由 x2+(y-)2=7. x2+4y2=4b2. 得3y2+3y-=4b2-7. 由Δ=0得b2=1. 即椭圆方程为x2+4y2=4. 所求点为(-.-).(.-). ●闯关训练 夯实基础 【查看更多】

     

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