题目列表(包括答案和解析)
（2012年高考江苏卷19） （本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
的左、右焦点分别为
，
．已知
和
都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
与直线
平行，
与
交于点P．
（i）若
，求直线的斜率；
（ii）求证：
是定值．
（2010安徽理数）19、（本小题满分13分）
已知椭圆
经过点
，对称轴为坐标轴，焦点
在
轴上，离心率
。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求
的角平分线所在直线
的方程；
(Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？
若存在，请找出；若不存在，说明理由。
（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱
中,
、
、
分别是
、
、
的中点，
是
上的点.
（1）求直线
与平面
所成角的正切值的最大值；
（2）求证：直线
平面
；
（3）求直线与平面的距离.
|
. 19(本小题满分14分)
已知椭圆 (a>b>0)与直线
x+y－1 = 0相交于A、B两点，且OA⊥OB
(O为坐标原点)．
(I) 求 + 的值；
(II) 若椭圆长轴长的取值范围是［,］，
求椭圆离心率e的取值范围．
(本小题满分12分)
在清明节前，哈市某单位组织员工参加植树祭扫，林管局在植树前为了保证树苗质量，都会对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，量出它们的高度如下：(单位：厘米)
甲：37 21 31 21 28 19 32 23 25 33
乙：10 30 47 27 46 14 26 11 43 46
(1)根据抽测结果画出茎叶图，并根据你所填写的茎叶图对两种树苗高度作比较，写出3个统计结论；
(2)如果认为甲种树苗高度超过30厘米为优质树苗，那么在己抽测的甲种10株树苗中任选两株栽种，记优质树苗的个数为
，求的分布列和期望．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．答案：A
解：依题意可知：由
显然：
但
不能推出
。
故选A ；
2．答案：D
解：依题意可知：设点
，则在点P处的切线的斜率为
，即
，又
故选D ；
3．答案：C
解：依题意可知：由
是奇函数，
故选C ；
4．答案：A
解：依题意可知：由
故选A；
5．答案：C
解：如图：函数
是周期函数，T=1。
故选C；
6．答案：A
解：依题意可知：由
，
，
又
。
故选A ；
7．答案：B
解：依题意可知：由图可知：
。
8．答案：A
解：依题意可知：如图，
，
则在
中，
；
则在
中，
；
则在
中，
；
故选A ；
9．答案：D
解：依题意可知：因
表示与
同方向的单位向量，
表示与
同方向的单位向量，故
，而
，
又（+）
，说明
向量与
向量垂直，根据向量加法的平行四边形法则可知：向量所在直线 过向量所在线段中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可逆推
为等腰三角形。又与夹角为
，故为等边三角形。
故选D ；
10．答案：A
解：设
，在
上，
，
，
，排除D；在
上，
，
，，排除B与C；故选A。
11．答案：B
解法一：正方体的八个顶点可确定
条直线；
条直线组成
对直线；正方体的八个顶点可确定
个面，其中12个四点面（6个表面，4个面对角面，2个体对角面），8个三点面；每个四点面上有
条直线，6条直线组成
对直线，12个四点面由12×15=180对直线组成；每个三点面上有
条直线，3条直线组成对直线，8个三点面由8×3=24对直线组成；由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为
；
解法二：正方体的八个顶点可确定
个四面体，每个四面体中有三对异面直线，由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为
；
12．答案：A
解：①正确；①中依题意可令
，
当
时，
在
上为减函数，
又因
在区间
为减函数，故
；
②错误；②中
当
当
③错误；③中当
时，
④正确；
圆的对称轴为直径所在的直线，故原命题正确。
故答案为：A。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。
13．答案：
解：设P点的坐标为
，则
直线PQ的方程为：
即
，
Q点的坐标为
，R点的坐标为
，
故答案为：；
14．答案：
解：依题意可知：正四棱锥S―ABCD的底面正方形ABCD在过球心O的大圆上，设球半径为R，AC=2R=
，
；
设球心O到侧面SAB的距离为
，连接
，
，过
作
于
，
连接SM，则
，
，
又
4
。
故答案为：；
15．答案：10
解：依题意可知：由
令
，故
的系数为
。
故答案为：10 ；
16．答案：③
解：依题意可知：①错，因在
上，
为减函数，而在
上，
为增函数。
②错，因在
上，为增函数，而在
上，为减函数。
③正确。因在
上，为增函数。
④错，因在
上，为增函数，而在
上，为减函数，故
时，函数有极大值。
⑤错，因在上，为增函数，故
时，函数没有极大值。
故答案为：③；
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）解：
，设
中有
个元素，显然有
，其中最大的一个是
，由于是正整数集合，故
且
；
当
时，
，此时不符合题意；
当
时，
或
或，显然只有符合题意；
当
时，设
其中
，
此时令
，
若
，则
，
不符合题意；
若
，由于是正整数集合，故
，
故时不符合题意；
综上所述。
（18）解：令
故当
（19）。答：与平面
垂直的直线条数有1条为
；
证法一：依题意由图可知：连
，
连
，
；
证法二：依题意由图建立空间直角坐标系：
，
设与
垂直的法向量为
，则有：
，而
，故
。
（20）解：设S为劳动村全体农民的集合，
为
季度劳动村在外打工的农民的集合，则
为季度劳动村没有在外打工的农民的集合，由题意有
所以
劳动村的农民全年在外打工为
，则
，
但
，
所以
，
即
。
故劳动村至少有
的农民全年在外打工。
（21）解：①作图进行受力分析，如下图示；
由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：
② ∵
，∴
故
在上为减函数，
∴当逐渐增大时，
也逐渐增大。
③要最小，则为最大，∴当为
时，最小，最小值是
。
④要
，则
，∴当为
时，。
（22）解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为
将
代入方程
，并整理得 
设
则有 
所以
夹角的大小为
（Ⅱ）由题设
得 
|
， ∵ 
∴
③
，依题意有
又F（1，0），得直线l方程为
时，l在方程y轴上的截距为
可知
在[4，9]上是递减的，
