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    3．体积法是一种很好的求空间距离的方法． [范例4]如图.在长方体AC1中.AD=AA1=1.AB=2.点E在棱AB上移动. (1)证明:D1E⊥A1D, (2)当E为AB的中点时.求点E到面ACD1的距离, (3)AE等于何值时.二面角D1-EC-D的大小为. 解析:法1 (1)∵AE⊥面AA1DD1.A1D⊥AD1.∴A1D⊥D1E (2)设点E到面ACD1的距离为h.在△ACD1中.AC=CD1=.AD1=. 故 (3)过D作DH⊥CE于H.连D1H.DE.则D1H⊥CE. ∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角. 设AE=x.则BE=2-x 法2:以D为坐标原点.直线DA.DC.DD1分别为x.y.z轴.建立空间直角坐标系.设AE=x.则A1.D1.A. (1) (2)因为E为AB的中点.则E. 从而.. 设平面ACD1的法向量为. 则也即.得. 从而.所以点E到平面AD1C的距离为 (3)设平面D1EC的法向量. ∴ 由 令b=1, ∴c=2, a=2-x. ∴依题意 ∴. . ∴AE=时.二面角D1-EC-D的大小为. [点晴]由线线.线面.面面的位置寻找满足某些条件的点的位置.是一种新型题目.它能考查学生分析问题.解决问题的能力.应引起重视.解决这类问题.常用分析法寻找思路. [文]如图.已知长方体..直线与平 面所成的角为.垂直于为的中点． (Ⅰ)求异面直线与所成的角, (Ⅱ)求平面与平面所成二面角的大小, (Ⅲ)求点到平面的距离 解(Ⅰ)连结.过F作的垂线.垂足为K. ∵与两底面ABCD.都垂直. ∴ 又 因此∴为异面直线与所成的角 连结BK.由FK⊥面得.从而为 在 和中. 由得 又. ∴ ∴异面直线与所成的角为 (Ⅱ)由于面由作的垂线 .垂足为.连结.则 ∴即为平面与平面所成二 面角的平面角.且.在平面中.延长与,交于点. ∵为的中点 ∴.分别为.的中点.即. ∴ 为等腰直角三角形.垂足点实为斜边的中点F.即F.G重合. 易得.在中.. ∴.∴. 即平面于平面所成二面角的大小为. 知平面是平面与平面所成二面角的平面角所在的平面 ∴面在中.由A作 AH⊥DF于H.则AH即为点A到平面BDF的距离. 由AH·DF=AD·AF.得 所以点A到平面BDF的距离为 [点晴]本题综合考查了立体几何的知识.异面直线之间的夹角.面面夹角及点与面的距离.考查学生的空间想象能力. ★★★自我提升 【查看更多】

     

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