3．离散型随机变量的分布列.期望和方差.注意取值的完整性以及每一取值的实际含义． ★★★突破重难点 [范例1]某批产品成箱包装.每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱.再从每箱中任意——青夏教育精英家教网—

3．离散型随机变量的分布列.期望和方差.注意取值的完整性以及每一取值的实际含义． ★★★突破重难点 [范例1]某批产品成箱包装.每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱.再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一.二.三箱中分别有0件.1件.2件二等品.其余为一等品． (Ⅰ)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数.求ξ的分布列及ξ的数学期望, (Ⅱ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品.用户就拒绝购买这批产品.求这批产品级用户拒绝的概率．解(1) , , , 所以的分布列为 0 1 2 3 P 的数学期望E= = [点晴]本题以古典概率为背景.其关键是利用排列组合的方法求出m.n.主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率. [变式]袋中装着标有数学1.2.3.4.5的小球各2个.从袋中任取3个小球.按3个小球上最大数字的9倍计分.每个小球被取出的可能性都相等.用表示取出的3个小球上的最大数字.求:(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率, (2)随机变量的概率分布和数学期望, (3)计分介于20分到40分之间的概率．解:(I)解法一:“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为 . 则解法二:“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A .“一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为 .则事件和事件是互斥事件.因为 .所以． (II)由题意有可能的取值为:2.3.4.5．所以随机变量的概率分布为 2 3 4 5 因此的数学期望为 (Ⅲ)“一次取球所得计分介于20分到40分之间的事件记为 .则 [范例2]某运动员射击一次所得环数的分布如下: 6 7 8 9 10 0 p 现进行两次射击.以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩.记为． (I)求p, (II)求该运动员两次都命中7环的概率 (Ⅲ)求的分布列解:(Ⅰ)p=1-0．3-0．3-0．2=0．2 (Ⅱ)求该运动员两次都命中7环的概率为 , (Ⅲ) 的可能取值为7.8.9.10 分布列为 7 8 9 10 P 0．04 0．21 0．39 0．36 [点晴]本题已知分布列逆求其他事件的概率和分布列.注意利用分布列的性质用于验证答案或求最后一个事件的概率.例如 . [变式]甲.乙两袋装有大小相同的红球和白球.甲袋装有2个红球.2个白球,乙袋装有2个红球.n个白球．两甲.乙两袋中各任取2个球． (Ⅰ)若n=3.求取到的4个球全是红球的概率, (Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 .求n．解:(I)记“取到的4个球全是红球为事件． (II)记“取到的4个球至多有1个红球为事件 .“取到的4个球只有1个红球为事件 .“取到的4个球全是白球为事件．由题意.得所以 . 化简.得解得 .或 .故． [点晴]本题属于古典概率.已知概率的结果.利用方程的思想逆求出n是该题的关键. [范例3]甲.乙.丙3人投篮,投进的概率分别是, , ． (Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率; (Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ．解: (Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A1 . "乙投篮1次投进"为事件A2 . "丙投篮1次投进"为事件A3."3人都没有投进"为事件A ．则P(A1)= .P(A2)= .P(A3)= . ∴ P(A) = P=P( )·P( )·P( ) = [1-P(A1)] ·[1-P (A2)] ·[1-P (A3)]== ∴3人都没有投进的概率为． (Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0.1.2.3. ξ~ B(3. ). P=C3k()k()3-k . Eξ=np = 3× = ．解法二: ξ的概率分布为: ξ 0 1 2 3 P Eξ=0×+1×+2×+3×= ． [点晴]已知概率求概率.主要运用加法公式以及n次独立重复试验.注意条件和适用的范围.另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了. [变式]某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查．若安检不合格,则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格,则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0．5,整改后安检合格的概率是0．8,计算: (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率．解:(Ⅰ)每家煤矿必须整改的概率是1-0.5.且每家煤矿是否整改是相互独立的．所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是． (Ⅱ)由题设.必须整改的煤矿数服从二项分布B．从而的数学期望是 E ＝ .即平均有2．50家煤矿必须整改． (Ⅲ)某煤矿被关闭.即该煤矿第一次安检不合格.整改后经复查仍不合格. 所以该煤矿被关闭的概率是 .从而该煤矿不被关闭的概率是0.9．由题意.每家煤矿是否被关闭是相互独立的. 所以至少关闭一家煤矿的概率是 [点晴]注意n次独立重复试验的条件.公式的记忆以及二项分布的期望结论.另外至多.至少等概率问题常使用正难则反的思想运用. [范例4]某公司招聘员工.指定三门考试课程.有两种考试方案．方案一:考试三门课程.至少有两门及格为考试通过, 方案二:在三门课程中.随机选取两门.这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 .且三门课程考试是否及格相互之间没有影响． (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率, (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．解:设三门考试课程考试通过的事件分别为A.B.C.相应的概率为a.b.c (1)考试三门课程.至少有两门及格的事件可表示为AB +A C+ BC+ABC.设其概率为P1.则P1＝ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)bc+abc＝ab+ac+bc-2abc 设在三门课程中.随机选取两门.这两门都及格的概率为P2. 则P2＝ ab+ ac+ bc (2)P1-P2＝(ab+ac+bc-2abc)-( ab+ ac+ bc)＝ ab+ ac+ bc-2abc ＝ (ab+ac+bc-3abc)＝ [ ab (1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)] >0 \P1>P2即用方案一的概率大于用方案二的概率． [点晴]本题作为含有字母的概率问题.增加了一定的难度.问题(Ⅱ)又运用了不等式作差的方法比较两期望的大小. [变式]现有甲.乙两个项目.对甲项目每投资十万元.一年后利润是1．2万元.1．18万元.1．17万元的概率分别为 . . ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是 ,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目每投资十万元, 取0.1.2时, 一年后相应利润是1．3万元.1．25万元.0．2万元．随机变量 . 分别表示对甲.乙两项目各投资十万元一年后的利润． (I) 求 . 的概率分布和数学期望 . ; (II) 当时,求的取值范围． [解析](I)解法1: 的概率分布为 1．2 1．18 1．17 P E =1．2 +1．18 +1．17 =1．18．由题设得 ,则的概率分布为 0 1 2 P 故的概率分布为 1．3 1．25 0．2 P 所以的数学期望为 E = + + = ．解法2: 的概率分布为 1．2 1．18 1．17 P E =1．2 +1．18 +1．17 =1．18．设表示事件第i次调整,价格下降 ,则 P= ; P= ; P= 故的概率分布为 1．3 1．25 0．2 P 所以的数学期望为 E = + + = ． (II) 由 ,得: 因0<p<1,所以时,p的取值范围是0<p<0．3． [点晴]本小题考查二项分布.分布列.数学期望以及与不等式等其他知识的综合应用,考查了运用概率知识解决实际问题的能力． ★★★自我提升【查看更多】

若离散型随机变量的分布列为

则a等于

．

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（2011•奉贤区二模）（理）如下表，已知离散型随机变量ξ的分布列，则Dξ为

2

．

ξ

-2

0

2

p

1

4

1

2

m

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下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是（　　）

A．

ξ

1

0

1

P

1

4

1

2

1

4

B．

ξ

0

1

2

P

1

5

2

5

3

5

C．

ξ

0

1

2

P

1

5

2

5

3

5

D．

ξ

-1

0

1

P

1

4

1

4

1

2

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已知离散型随机变量ξ的分布列为：

ξ	a	2a	3a
P	b	2b	2b

且ξ的数学期望E（ξ）=

11

5

，则

∫

10b

a

（

1

x

）dx=（　　）

A、1+ln2	B、1
C、-1+ln2	D、ln2

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若离散型随机变量ξ的分布列为

ξ	0	1
P	9c²-c	3-8c

则常数c的值为

1

3

1

3

．

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