若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量．设{an}是公比为q的无穷等比数列.下列{an}的四组量中:①S1与S2, ②a2与S3, ③a1与an, ④q与an．其中一定能成为该数列“——青夏教育精英家教网—

若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量．设{an}是公比为q的无穷等比数列.下列{an}的四组量中:①S1与S2, ②a2与S3, ③a1与an, ④q与an．其中一定能成为该数列“基本量的是第 ①④ 组．(写出所有符合要求的组号) 6．设数列{an}的首项.且.记． (I)求a2.a3, (II)判断数列{bn}是否为等比数列.并证明你的结论, 求． [专家解答] (I)a2＝a1+= a+.a3=a2 =a+, (II)∵ a4 = a3+=a+. ∴ a5=a4=a+. 所以b1=a1-=a-. b2=a3-= (a-). b3=a5-= (a-). 猜想:{bn}是公比为的等比数列．证明如下: 因为bn+1＝a2n+1-=a2n-= (a2n-1-)=bn. (n∈N*) 所以{bn}是首项为a-. 公比为的等比数列· ． ★★★高考要考什么 [考点透视] 本专题主要涉及等差(比)数列的定义.通项公式.前n项和及其性质.数列的极限.无穷等比数列的各项和． [热点透析] 高考对本专题考查比较全面.深刻.每年都不遗漏．其中小题主要考查间相互关系.呈现“小.巧.活的特点,大题中往往把等差(比)数列与函数.方程与不等式.解析几何等知识结合.考查基础知识.思想方法的运用.对思维能力要求较高.注重试题的综合性.注意分类讨论． ★★★突破重难点 [范例1]已知等差数列前三项为a.4.3a.前n项和为Sn.Sk = 2550． (Ⅰ) 求a及k的值, (Ⅱ) 求(-)．解析(Ⅰ)设该等差数列为{an}.则a1 = a.a2 = 4.a3 = 3a.Sk = 2550．由已知得a+3a = 2×4. 解得a1 = a = 2.公差d = a2-a1= 2．由得 .解得 k = 50． ∴ a = 2.k = 50． (Ⅱ)由得Sn= n (n+1). ∴ . ∴ ． [点睛]错位相减法.裂项相消法等等是常用的数列求和方法． [文]是等差数列的前n项和.已知的等比中项为.的等差中项为1.求数列的通项．解析由已知得. 即 . 解得或或经验证或均满足题意.即为所求． [点睛]若是等差数列的前n项和.则数列也是等差数列．本题是以此背景设计此题． [范例2]已知正项数列{an}.其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比数列.求数列{an}的通项an . 解析 ∵10Sn=an2+5an+6. ① ∴10a1=a12+5a1+6.解之得a1=2或a1=3．又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2). ② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1).即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 . ∴an-an-1=5 (n≥2)．当a1=3时.a3=13.a15=73． a1. a3.a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时. a3=12. a15=72. 有 a32=a1a15 . ∴a1=2. ∴an=5n-3． [点睛]求数列的通项公式是数列的基本问题.一般有三种类型:(1)已知数列是等差或等比数列.求通项.破解方法:公式法或待定系数法,(2)已知Sn.求通项.破解方法:利用Sn-Sn-1= an.但要注意分类讨论.本例的求解中检验必不可少.值得重视,(3)已知数列的递推公式.求通项.破解方法:猜想证明法或构造法. [文]已知等比数列的前项和为.且． (1)求.的值及数列的通项公式, (2)设.求数列的前项和．解析 (1)当时.．而为等比数列.得.即.从而．又． (2). 两式相减得. 因此.． [范例3]下表给出一个“三角形数阵 : . .. - - - - 已知每一列的数成等差数列,从第三行起.每一行的数成等比数列.每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为aij ( i≥j. i. j∈N*)． (1) 求a83, (2) 试写出a ij关于i. j的表达式, (3) 记第n行的和为An.求解析 (1)由题知成等差数列.且.所以公差. 又成等比数列.且．又公比都相等.∴每行的公比是． ∴．知..∴． (3)． [点睛]在新颖背景--数表中运用数列知识． [文]在等比数列{a n}中.前n项和为Sn.若Sm.Sm+2.Sm+1成等差数列.则am. am+2. am+1成等差数列 (1)写出这个命题的逆命题,(2)判断逆命题是否为真.并给出证明解析(1)逆命题:在等比数列{an}中.前n项和为Sn.若am. am+2. am+1成等差数列.则 Sm.Sm+2.Sm+1成等差数列 (2)设{an}的首项为a1.公比为q. 由已知得2am+2= am + am+1 ∴2a1qm+1=a1+a1qm ∵a1≠0 q≠0 .∴2q2-q-1=0 . ∴q=1或q=- 当q=1时.∵Sm=ma1. Sm+2= (m+2)a1.Sm+1= (m+1)a1. ∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2. ∴Sm.Sm+2.Sm+1不成等差数列当q=-时. . ∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 . ∴Sm.Sm+2.Sm+1成等差数列综上得:当公比q=1时.逆命题为假,当公比q≠1时.逆命题为真 [点睛]逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处． [范例4]已知数列在直线x-y+1=0上． (1) 求数列{an}的通项公式, (2)若函数求函数f (n)的最小值, (3)设表示数列{bn}的前n项和．试问:是否存在关于n 的整式g(n). 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在.写出g(n)的解析式.并加以证明;若不存在.说明理由．解析 (1)在直线x-y+1=0上 (2) . . ． (3). ． -------------- 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立． [点睛]点在直线上的充要条件是点的坐标满足直线的方程.即得递推式．第(3)小题的探索性设问也是本题的升华． [变式]设数列是等差数列.． (Ⅰ)当时.请在数列中找一项.使得成等比数列, (Ⅱ)当时.若满足. 使得是等比数列.求数列的通项公式．解析(Ⅰ)设公差为.则由.得 ∵成等比数列.∴ 解得．故成等比数列． (Ⅱ).∴.故．又是等比数列. 则.∴. 又.∴.∴ [点睛]等差数列中寻找等比子数列是数列的重要内容． ★★★自我提升【查看更多】

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若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量”．{a_n}是公比为q的无穷等比数列，下列“基量”为

（1）（4）

组；
（1）S₁与S₂；（2）a₂与S₃；（3）a₁与a_n；（4）q与a_n（n为大于1的整数，S_n为{a_n}的前n项和）

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若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a_n}是公比为q的无穷等比数列,下列{a_n}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第__________组.(写出所有符合要求的组号)

①S₁与S₂;②a₂与S₃;③a₁与a_n;④q与a_n.其中n为大于1的整数,S_n为{a_n}的前n项和.