练习册

  • 练习册
  • 试题
    6．已知函数f (x)=.数列|x|(x＞0)的第一项x＝1.以后各项按如下方式取定:曲线x=f (x)在处的切线与 经过(0.0)和(x,f (x))两点的直线平行. 求证:当n时. (Ⅰ) x (Ⅱ). [专家解答](I ) 证明:因为 所以曲线在处的切线斜率 即和两点的直线斜率是 以. (II)因为函数.当时单调递增. 而. 所以.即 因此 又因为 令 则 因为 所以 因此 故 ★★★高考要考什么 [考点透视] 本专题是等差(比)数列知识的综合应用.同时加强数学思想方法的应用.是历年的重点内容之一.近几年考查的力度有所增加.体现高考是以能力立意命题的原则． [热点透析] 高考中常常把数列.极限与函数.方程.不等式.解析几何等等相关内容综合在 一起.再加以导数和向量等新增内容.使数列综合题新意层出不穷．常见题型: (1)由递推公式给出数列.与其他知识交汇.考查运用递推公式进行恒等变形. 推理与综合能力． (2)给出Sn与an的关系.求通项等.考查等价转化的数学思想与解决问题能力． (3)以函数.解析几何的知识为载体.或定义新数列.考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用.注意不等式型的递推数列． ★★★突破重难点 [范例1]已知数列中.对一切自然数.都有且 ． 求证:(1), (2)若表示数列的前项之和.则． 解析: (1)由已知得. 又因为.所以, 因此.即． 可知 .即. 于是. 即． [点睛]从题目的结构可以看出.条件是解决问题的关键.必须从中找出和的关系． [文]记 (Ⅰ)求b1.b2.b3.b4的值, (Ⅱ)求数列的通项公式及数列的前n项和 解析(I) 整理得 (Ⅱ)由 所以 [范例2]设数列的前项的和. (Ⅰ)求首项与通项, (Ⅱ)设..证明: 解析 (Ⅰ)由 Sn=an-×2n+1+, n=1,2,3.- ① 得 a1=S1= a1-×4+ 所以a1=2. 再由①有 Sn-1=an-1-×2n+, n=2,3.4,- 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)-×(2n+1-2n), n=2,3, - 整理得: an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3, -, 因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列.即an+2n = 4×4 n-1= 4 n, n=1,2,3, -, 因而an=4n-2n, n=1,2,3, - (Ⅱ) Sn= ×(4n-2n)-×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) = ×(2n+1-1)(2n-1) Tn= = × = ×( - ) 所以 = - ) = ×( - ) < [点睛]Sn与an始终是我们的重点.需要我们引起重视,注意总结积累数列不等式放缩的技巧． [文]设数列的前n项和为Sn.若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列. (1)求数列的通项公式(用S1和q表示), (2)试比较的大小.并证明你的结论. 解析 (1)∵是各项均为正数的等比数列. ∴． 当n=1时.a1=S1, 当． ∴ (2)当n=1时. ∴． 当时. ∵ ①当q=1时. ②当 ③当 综上可知:当n=1时.．当 若 若 [范例3]由坐标原点O向曲线引切线.切于O以外的点P1.再由P1引此曲线的切线.切于P1以外的点P2).如此进行下去.得到点列{ Pn}}. 求:(Ⅰ)的关系式, (Ⅱ)数列的通项公式, (Ⅲ)当时.的极限位置的坐 解析 (Ⅰ)由题得 过点P1(的切线为 过原点 又过点Pn(的 因为过点Pn-1( 整理得 得 所以数列{xn-a}是以公比为的等比数列 (法2)通过计算再用数学归纳法证明. (Ⅲ) 的极限位置为( [点睛]注意曲线的切线方程的应用.从而得出递推式． [文]数列的前项和为.已知 (Ⅰ)写出与的递推关系式.并求关于的表达式, (Ⅱ)设.求数列的前项和． 解析 由得. 即.所以.对成立． 由..-. 相加得.又.所以. 当时.也成立． (Ⅱ)由.得． 而. . . [范例4]设点(.0).和抛物线:y＝x2+an x+bn(n∈N*).其中an＝-2-4n-.由以下方法得到: x1＝1.点P2 (x2.2)在抛物线C1:y＝x2+a1x+b1上.点A1(x1.0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离.-.点在抛物线:y＝x2+an x+bn上.点(.0)到的距离是 到 上点的最短距离． (Ⅰ)求x2及C1的方程． (Ⅱ)证明{}是等差数列． 解:, C1:y=x2-7x+b1. 设点P(x,y)是C1上任意一点,则|A1P|= 令f 2+(x2-7x+b1)2, 则 由题意得, 即 又P2(x2,0)在C1上, ∴2=x22 -7x2+b1 解得x2=3, b1=14. 故C1方程为y=x2-7x+14. 是C1上任意一点,则 |AnP|= 令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则, 由题意得,,即=0, 又∵,∴(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0, 即(1+2n+1)xn+1- xn+2 n an =0, (*) 下面用数学归纳法证明xn=2n-1. ① 当n=1时,x1=1,等式成立. ② 假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1. 则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0, (*) 又ak=-2-4k-,∴. 即当n=k+1,时等式成立. 由①②知,等式对n∈N+成立,∴{xn}是等差数列. [点睛]注意第小题的特例.对于求数列的通项公式.归纳猜想证明是十分常用的手段． [文]已知数列满足 (I)证明:数列是等比数列, (II)求数列的通项公式, (II)若数列满足证明是等差数列． 解析 (I)证明: 是以为首项.2为公比的等比数列． 得 (III)证明: ① ② ②-①.得 即 ③ ④ ④-③.得 即 是等差数列． ★★★自我提升 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数f(x)=x3 + x2，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）

    求证：当时，

    (Ⅰ);

    （Ⅱ）

    查看答案和解析>>

    （06年浙江卷理）（14分）

    已知函数f(x)=x+ x，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）

    .

    求证：当n时，

      (Ⅰ)x 

    （Ⅱ）

     

    查看答案和解析>>


    同步练习册答案