已知正项数列{a_n}中，a₁=2点A_n（

an

，

an_+

1）在双曲线y²-x²=1上，数列{b_n}中，点（b_n，T_n）在直线y=-

1

2

x+1上，其中T_n是数列的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）若c_n=a_nb_n，求证：c_n+1＜c_n．

已知正项数列{a_n}，{b_n}满足：对任意正整数n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=10，a₂=15．
（Ⅰ）求证：数列{

b

n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅲ） 设Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，如果对任意正整数n，不等式2aSn＜2-

bn

an

恒成立，求实数a的取值范围．

已知正项数列a_n满足：a₁=1，n≥2时，（n-1）a_n²=na_n-1²+n²-n．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设a_n=2ⁿ•b_n，数列b_n的前n项和为S_n，是否存在正整数m，使得对任意的n∈N*，m-3＜S_n＜m恒成立？若存在，求出所有的正整数m；若不存在，说明理由．

已知正项数列{a_n}和{b_n}中，a₁=a（0＜a＜1），b₁=1-a．当n≥2时，a_n=a_n-1b_n，b_n=

bn-a

1-a2n-1

．
（1）证明：对任意n∈N^*，有a_n+b_n=1；
（2）求数列{a_n}的通项公式．