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    例2 (2007年高考全国卷Ⅰ理科20题)设函数． (Ⅰ)证明:f (x)的导数f ¢(x)≥2, (Ⅱ)若对所有x≥0都有f (x)≥ax.求a的取值范围． 分析 本题(Ⅰ)比较简单.用均值不等式可一步到位,(Ⅱ)需要先把不等式移项之后.构造新的函数.通过对新函数求导来研究其单调性从而确定参数的范围． (Ⅰ)证明 f (x)的导数． 由于.故f ¢(x)≥2．(当且仅当x＝0时.等号成立．) (Ⅱ)解 令g(x)＝f (x)-ax.则g¢(x)＝f ¢(x)-a＝． (ⅰ)若a≤2.当x＞0时.. 故g(x)在上为增函数． 所以.对x≥0时.g(x)≥g(0)＝0.即f (x)≥ax． (ⅱ)若a＞2.方程g¢(x)＝0的正根为. 此时.若x∈(0.x1).则g¢(x)＜0.故g(x)在该区间为减函数． 所以.x∈(0.x1)时.g(x)＜g(0)＝0.即f (x)＜ax.与题设f (x)≥ax相矛盾． 综上.满足条件的a的取值范围是(-¥.2]． 点评 需要提醒大家的是.初步得出a的取值范围为a≤2还不完整.还需继续说明当a不在此范围内时.即当a＞2时为什么不行.等找到矛盾后才能彻底说明范围a≤2是原条件的充要条件． 【查看更多】

     

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