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    例3 (2007年高考安徽卷理科18题)设a≥0.f (x)＝x-1-ln2 x+2aln x(x＞0)． (Ⅰ)令F(x)＝x f ¢(x).讨论F(x)在内的单调性并求极值, (Ⅱ)求证:当x＞1时.恒有x＞ln2 x-2aln x+1． 分析 利用导数研究函数的单调性.极值和证明不等式是近年来高考中的常考题型.解题时有一套完整的流程.我们必须十分熟练． (Ⅰ)解 根据求导法则有. 故F(x)＝x f ¢(x)＝x-2ln x+2a(x＞0).于是. 列表如下: x (0.2) 2 F¢(x) - 0 + F(x) ↘ 极小值F(2) ↗ 故知F(x)在(0.2)内是减函数.在内是增函数.所以.在x＝2处取得极小值F(2)＝2-2ln2+2a． (Ⅱ)证明 由a≥0知.F(x)的极小值F(2)＝2-2ln2+2a＞0． 于是由上表知.对一切x∈.恒有F(x)＝x f ¢(x)＞0． 从而当x＞0时.恒有f ¢(x)＞0.故f (x)在内单调增加． 所以当x＞1时.f (x)＞f (1)＝0.即x-1-ln2 x+2aln x＞0． 故当x＞1时.恒有x＞ln2 x-2aln x+1． 点评 本题主要考查函数导数的概念与计算.利用导数研究函数的单调性.极值和证明不等式的方法.考查综合运用有关知识解决问题的能力．需要注意的是(Ⅱ)问中的不等式经移项后不必构造新的函数.因为这就是已知函数f (x).并且f (x)的单调性也不用再求导研究.因为可以利用(Ⅰ)问中F(x)的单调性和极小值就可以找到f ¢(x)＞0.从而得出f (x)的单调性． 【查看更多】

     

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