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    例4 (2007年高考全国卷Ⅱ理科22题)已知函数f (x)＝x3-x． (Ⅰ)求曲线y＝f (x)在点M(t.f (t))处的切线方程, (Ⅱ)设a＞0.如果过点(a.b)可作曲线y＝f (x)的三条切线.证明:-a＜b＜f (a)． 分析 (Ⅰ)问比较简单.f ¢(x0)的几何意义是曲线f(x)在点(x0.f (x0))处的切线的斜率.利用这一几何意义就可以求切线方程．(Ⅱ)问中条件“过点可作曲线y＝f (x)的三条切线 .可转化为该点代入切线方程后所得方程有三个相异的实根.而研究根的个数仍然需要借助导数． 解 (Ⅰ)求函数f (x)的导数:f ¢(x)＝3x2-1． 曲线y＝f (x)在点M(t.f (t))处的切线方程为:y-f (t)＝f ¢(t)(x-t). 即y＝(3t2-1)x-2t3． (Ⅱ)如果有一条切线过点(a.b).则存在t.使b＝(3t2-1)a-2t3． 于是.若过点(a.b)可作曲线y＝f (x)的三条切线.则方程2t3-3at2+a+b＝0有三个相异的实数根． 记g(t)＝ 2t3-3at2+a+b.则g¢(t)＝6t2-6at＝6t(t-a)． 当t变化时.g(t).g¢(t)变化情况如下表: t 0 (0.a) a (a.+¥) g¢(t) + 0 - 0 + g(t) ↗ 极大值a+b ↘ 极小值b-f (a) ↗ 由g(t)的单调性.当极大值a+b＜0或极小值b-f (a)＞0时.方程g(t)＝0最多有一个实数根, 当a+b＝0时.解方程g(t)＝0得.即方程g(t)＝0只有两个相异的实数根, 当b-f (a)＝0时.解方程g(t)＝0得.即方程g(t)＝0只有两个相异的实数根． 综上.如果过(a.b)可作曲线y＝f (x)三条切线.即g(t)＝0有三个相异的实数根.则即-a＜b＜f (a)． 点评 利用导数研究一个三次方程f (x)＝0根的个数问题是一类常见的题型.它可以看成是函数f (x)的图像与x轴的交点个数问题.因此与函数的极值有关． 由此可见.我们常常利用导数判断函数的单调性.求极值.求最值.求取值范围.证明不等式.求切线方程.判断方程根的个数.而这七个应用我们通过上面四个典型例题就可以学到． 【查看更多】

     

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