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    解微分方程中.遇到取对数时.在不影响微分方程的解的情况下.可以略去绝对值记号. 例3 解 原式为 分离变量: 两边积分得通解 例4 求方程 满足初始条件 的特解. 解 先求通解.原式化为 分离变量 两边积分(在对数内略去绝对值记号得) 即 求得通解为 代入初始条件 . 所以满足初始条件的特解为 例5 求方程 的通解. 有些不能分离变量的一阶方程.通过适当的变量置换可以化为可分离变量的方程. 例6 证明:利用变量置换 可将方程 化为变量 与 可分离的方程. 证明 : 两边对 求导得 例7 求方程 的通解. 解 设 .则 分离变量 .积分 所以.通解为 形如 或 (1) 的方程叫一阶线性微分方程.当 时. (2) 相应的线性齐次方程.而(1)称为线性非齐次方程. 解法 :(1)先求出线性齐次方程(2)的通解. 分离变量 两边积分 得齐次方程的通解 ( ) (2)再用常数变易法来求非齐次线性方程(1)的通解. 设 则 将其代入非齐次方程(1) 将 代回得非齐次方程通解 (3) 注 :将通解公式(3)右边写成两项之和可看出: 一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特解加上对应的齐次方程的通解. 一阶线性微分方程的解法.可用常数变易法.也可直接套用通解公式(3). 例8 求方程 满足初始条件 的特解. 解 法一.常数变易法.先求 的通解. 分离变量 .两边积分得 .所以通解为 . 令 .将 代入原方程 . 所以原方程的通解为 代入初始条件 . 所求特解为 法二.直接套用通解公式.方程变形为 其中 .由通解公式 代入初始条件后.得特解 例9 求方程 的通解. 解 :原方程为 . 令 . 则原方程化为一阶线性方程 其通解为 . 于是原方程的通解为 . 例10 求方程 的通解. 解 容易看出.这方程既不能分离变量也不是一阶线性方程.但是.如果把 看作 的函数. 当作自变量.方程化为 这是一阶线性方程.由通解公式 例11 求方程 满足初始条件 的特解. 形如 ( 为常数)的方程称为伯努利方程. 时.它是一阶线性方程, 时.它是变量可分离方程. 当 或1时.方程两边同乘 .有 即 令 .则伯努利方程化为一阶线性微分方程 例12 求方程 的通解. 解 这是伯努利方程.两边同乘 即 令 .得 .由一阶线性微分方程通解公式 所以.原方程的通解为 下面再介绍几个微分方程应用的例子. 例13 一平面曲线.其上任一点处的切线夹于两坐标轴之间的那一段切线的长为切点所等分.求曲线的方程. 解 设曲线的方程为 . 为曲线上任一点. 由于两坐标轴间切线段被切点所等分. 所以切线与 轴交点为 . 与 轴交点为 .故有 .分离变量. 两边积分得 .所求曲线方程为 例14 设有一质量为 的物体.从高空以竖直方向上的初速度 开始下落.假定空气的阻力与速度成正比.求物体运动速度与时间的关系. 解 取物体下落路径作一坐标轴.正向向下.原点为运动的起点.在运动过程中.物体受到两个力的作用:重力 向下.空气阻力 向上.由牛顿第二定律得. 或 其中 这是一阶线性方程.通解为 代入初始条件 . 得满足条件的特解是 例15 设 具有连续导数.且满足方程 .求 解 已知 .方程两边对 求导得 分离变量得 .两边积分后得 .因 .故c=1 因此所求函数 解法: 逐次积分 例1 求微分方程 的通解. 解 两边积分 再积分得通解 解法 :令 则 代入方程降阶 这是一阶方程.设通解为 即 .所以.原方程通解为 例2 求方程 的通解. 解 方程不含y.令 .故 .代入原方程得到 .或 它是p的一阶线性方程.其通解为 再由方程 积分后得到原方程的通解为 例3 求微分方程 满足初始条件 的特解. 解 设 .故 .代入原方程得到 .这是变量可分离方程.分离变量.积分 .再积分得通解 代入初始条件 . 所求特解为 解法 :令 则 代入方程降阶 这是一阶方程.设通解为 即 .所以.原方程的通解为 例4 求方程 的通解. 解 令 代入原方程得 . 当 时.得 为原方程的解, 当 时. .分离变量后得 . 两边积分后得 即 . 从而得 分离变量.再两边积分.得原方程所求通解为 例5 求方程 的通解. 【查看更多】

     

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