练习册

  • 练习册
  • 试题
    函数 是否方程(**)的通解呢?这要看 与 是否独立.如果 .则 . 式中只有一个独立常数.显然.此时不是(**)的通解. 下面给出两个函数线性相关.线性无关的概念: 设函数 与 在区间I有定义.且其中之一是另一个的常数倍(即 ).则称函数 与 线性相关.否则称为线性无关或线性独立. 如: 与 相关, 与 无关, 与 当 时无关. 定理2 如果函数 与 是齐次方程(**)的两个线性无关的特解.则 ( 是任意常数)是齐次方程(**)的通解. 定理3 设 是二阶非齐次方程(*)的一个特解. 是与(*)对应的 齐次方程(**)的通解.则 是二阶非齐次线性方程 (*)的通解. 定理4 设 与 分别是方程 与 的特解.则 是方程 的特解. 二阶常系数齐次线性微分方程 形如 为常数) (1) 或 都是常数)的方程称为 二阶常系数齐次线性微分方程. 下面求它的通解设 为方程(1)的解.将其代入方程得 (*) 此称为齐次方程(1)的特征方程.其根叫特征根.记 称为齐次 方程(1)的特征多项式.显然.如果 是特征方程的根.则函数 一定是齐次方程(1)的解.下面根据特征方程根的不同情况.讨论齐次方程(1)的通解形式 (1)特征方程有两个不等的实根 与 由解的结构知方程(1)的通解为 (2)特征方程有两个相等的实根 此时只得到方程(1)的一个解 .现找出与 线性无关的另一个解. 设 .将 代入方程(1)得 即 所以 取 得方程(1)的另一解 . 方程(1)的通解为 (3)特征方程有一对共轭复根 此时.方程(1)的两个解为 . 由齐次方程(1)的解的性质知 . 仍为方程(1)的解.且 与 线性无关. 方程(1)的通解为 综上所述.求二阶齐次常系数线性微分方程的通解的方法是: 求出特征根.(3)根据特征根的不同情况写出通解. 通解公式: 特征方程 的根 通解公式(其中 为任意常数) 有两个不等的实根 有两个相等的实根 有一对共轭复根 例1 求下列微分方程的通解 (1) (2) (3) (4) 解(1)特征方程为 特征根为 故原微分方程的通解为 (2)特征方程为 特征根为 故原方程的通解为 (3)特征方程为 . 特征根为 故原方程的通解为 (4)特征方程为 .特征根为 故原方程的通解为 例2 求方程 满足条件 的特解. 解 特征方程 .特征根 所以方程通解为 代入初始条件 . . . 所求特解为 二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式 ( 为常数) (1) 根据非齐次线性方程解的结构定理.只要找出其一个特解 和对应的齐次方程 (2) 的通解 .则可得到非齐次方程的通解 .而齐次方程的通解求法上一 节已介绍.本节主要介绍非齐次方程的特解求法.下面分别介绍 为两种特殊形式时其特解 的求法. 型 其中 是常数. 是 的 m 次多项式: . 由函数 的形式.可设特解为 .( 是 的多项式) 则 . . 将其代入方程(1)得 (*) 即 ( 为对应的齐次方程的特征多 项式) (1)当 不是齐次方程(2)的特征方程的根时. .要(*)式两端恒等. 应是一个 m 次多项式 : 将 代入(*)式.比较等号两边 同次幂的系数.得到一个以 为未知数的方程组.解出 .得到方程(1)的特解 . (2)当 是(2)的特征方程的单根时. 但 .要(*)式两边相等.则 应是 m 次多项式.此时可令 .得到方程(1)的特解 . (3)当 是(2)的特征方程的重根时. 且 .要(*)式两边恒等. 应是 m 次多项式.此时可令 .得到方程(1)的特解 . 综上所述.当 时.非齐次方程(1)的特解求法: 特征方程 的根 特解形式( 是 次多项式) 不是特征方程的根 是特征方程的单根 是特征方程的重根 例1 写出下列方程的特解形式 (1) (2) (3) 解(1)对应齐次方程的特征方程为 .特征根 , 不是特征方程的根.所以.设特解 . (2)对应齐次方程的特征方程为 .特征根 是特征方程的单根.所以.设特解 . (3)对应齐次方程的特征方程为 .特征根 , 是特征方程的重根.所以.设特解 . 例2 求方程 的通解. 解 对应齐次方程的特征方程为 .特征根 , 齐次方程的通解为 . 是特征方程的单根.设特解 . . . . 特征多项式 将其代入(*)式 得 (或将 代入原方程也得此结果). 有 .所以特解为 ,故所求通解为 例3 求方程 的一个特解. 解 先求出方程 的特解 .再求出方程 的特解 .则原方程的特解为 . 例4 求方程 满足初始条件 的特解. 解(1)先求齐次方程的通解: 对应齐次方程的特征方程为 .其特征根: 故齐次方程的通解为 (2)设非齐次方程的特解.并求出待定系数: 不是特征方程的根.故设非齐次方程的特解: . 代入原方程.得: .解得: . 从而: (3)写出原方程的通解:所以原方程的通解 (4)由初始条件求原方程的特解: .把初始条件 代入 : 得: .解方程得: (5)结论:所以所求特解为: 用欧拉公式将 写成复指数形式 其中 是 的 次多项式.用 中 方法先求出方程 的特解 的特解 由解的结构定理 4 知.原方程的通解为 其中 是 的 次多项式. 按 不是或是特征方程的根依次取 0 或 1 . 由上述推导过程知:如果方程(1)右端 可设方程的特解为 代入原方程.比较等号两边同类项的系数得一方程组.可确定 中的 系数. 特殊情况: . 为常数.不同时为零 (Ⅰ) 不是特征方程的根.设特解 (Ⅱ) 是特征方程的根.设特解 为待定系数. 例5 写出下列方程的特解形式 (1) (2) (3) 解(1)对应齐次方程的特征方程为 .特征根 . 不是特征方程的根.设特解 (2)对应齐次方程的特征方程为 .特征根 . 是特征方程的根.设特解 (3)对应齐次方程的特征方程为 .特征根 . 是特征方程的根.设特解 例6 求方程 的通解. 解 对应齐次方程的特征方程为 .特征根 . 齐次方程的通解为 下面求特解.将原方程写成 先求出方程 的特解 因 是特征方程的根.设特解 . .特征多项式 .将上面结果代入(*)式 得 所以特解 . 显然方程 的特解 . 所以原方程的特解为 故原方程的通解为 注 :此方程特解也可这样求.设 .将 代入原方程.可得 . 例7 求方程 满足初始条件 的特解. 解 对应齐次方程的特征方程为 .特征根 . 齐次方程的通解为 . 不是特征方程的根.设特解 . 将 代入原方程.化简得 比较两边同类项的系数.有 .解得 . 所以 .则原方程的通解为 而 将初始条件 代入上面两式.有 . 解得 . 所以满足初始条件的特解为 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为x=-
    12

    （1）求f（x）的解析式；
    （2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x2-13]|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最大值和最小值；
    （3）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（
    x+y
    1+xy
    ），且当x＜0时，f（x）＞0；
    （1）验证函数f（x）=ln
    1-x
    1+x
    是否满足这些条件；
    （2）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明；
    （3）若f（-
    1
    2
    ）=1，试解方程f（x）=-
    1
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    已知函数：f(x)=
    a3
    x3+(a+3)x+1    ．
    （1）当a=-3时，求过点（1，0）曲线y=f（x）的切线方程；
    （2）求函数y=f（x）的单调区间；
    （3）函数是否存在极值？若有，则求出极值点；若没有，则说明理由．

    查看答案和解析>>

    对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。

    ① 对任意的，总有；

    ② 当时，总有成立。

    已知函数与是定义在上的函数。

    （1）试问函数是否为函数？并说明理由；

    （2）若函数是函数，求实数组成的集合；

    （3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数情况。

    查看答案和解析>>

    （本小题满分14分）

    已知函数，其中常数．

    （Ⅰ）当时，求函数的极值点；

    （Ⅱ）令，若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

    （Ⅲ）设定义在D上的函数在点处的切线方程为当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“特殊点”，请你探究当时，函数是否存在“特殊点”，若存在，请最少求出一个“特殊点”的横坐标，若不存在，说明理由．

     

     

    查看答案和解析>>


    同步练习册答案