如图所示.在三棱锥P-ABC中.AC=BC=2.∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC. 求二面角B-AP-C的大小; (3)求点C到平面APB的距离. 方法一 (1)证明如.取A——青夏教育精英家教网—

如图所示.在三棱锥P-ABC中.AC=BC=2.∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC. 求二面角B-AP-C的大小; (3)求点C到平面APB的距离. 方法一 (1)证明如.取AB中点D.连结PD.CD. ∵AP=BP.∴PD⊥AB. ∵AC=BC.∴CD⊥AB. 图(1) ∵PD∩CD=D.∴AB⊥平面PCD. ∵PC平面PCD.∴PC⊥AB. (2)解 ∵AC=BC.AP=BP.PC=PC. ∴△APC≌△BPC. 又PC⊥AC.∴PC⊥BC. 又∠ACB=90°.即AC⊥BC. 且AC∩PC=C.∴BC⊥平面PAC. 如图(2).取AP中点E.连结BE.CE. ∵AB=BP.∴BE⊥AP. ∵EC是BE在平面PAC内的射影.∴CE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角. 在△BCE中.∠BCE=90°,BC=2,BE=AB=, ∴sin∠BEC=. ∴二面角B-AP-C的大小为arcsin. 知AB⊥平面PCD, ∴平面APB⊥平面PCD. 如图(3),过C作CH⊥PD,垂足为H. ∵平面APB∩平面PCD=PD, ∴CH⊥平面APB. ∴CH的长即为点C到平面APB的距离. 由(1)知PC⊥AB,又PC⊥AC, 且AB∩AC=A,∴PC⊥平面ABC. ∵CD平面ABC,∴PC⊥CD. 在Rt△PCD中,CD=AB=,PD=PB=, ∴PC==2. ∴CH=. ∴点C到平面APB的距离为. 方法二 (1)证明 ∵AC=BC.AP=BP.CP=CP. ∴△APC≌△BPC. 又PC⊥AC.∴PC⊥BC. ∵AC∩BC=C.∴PC⊥平面ABC. ∵AB平面ABC.∴PC⊥AB. (2)解如图所示.以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz. 则C. B. ∵|PB|=|AB|=2. ∴t=2.P. 取AP中点E.连结BE.CE. ∵|AC|=|PC|.|AB|=|BP|. ∴CE⊥AP.BE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角. ∵E,∴=.=. ∴cos∠BEC=. ∴二面角B-AP-C的大小为arccos. (3)解 ∵AC=BC=PC. ∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H. 且CH的长为点C到平面APB的距离. 如(2)建立空间直角坐标系C-xyz. ∵.∴点H的坐标为 ∴. ∴点C到平面APB的距离为. 【查看更多】

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