A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为

1 -4

，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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递增等比数列中，则(     )

A．

B．2

C．4

D．8

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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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一、选择题（每小题5分，共60分）

1－12BDCBC        CCDBA         AC

二、填空题（每题4分，共16分）

13、          14、        15、1     16、15

三、解答题（共74分）

17、（本小题满分12分）

（1）

函数的最小正周期是

当时，即时，函数有最大值1。

（2）由，得

当时，取得，函数的单调递减区间是

（3）

18、（本小题满分12分）

（1）由题意知：且，∴＝1

∵①，∴当 n≥2时, ②

①－②得：

∴

∵＞0，∴，（n≥2且）

∴是以＝1为首项，d＝1为公差的等差数列

∴＝n

（2）

∴是以为首项，为公比的等比数列

∴，∴，

∴                        ①

∴           ②

①－②得

∴

19、（本小题满分12分）

（1）当时，

在上是增函数

∴在上是增函数

∴当时，

（2）在上恒成立

∴在上恒成立

∴在上恒成立

在上是减函数，

∴当时，

∴，

∴所求实数a的取值范围为

20、（本小题满分12分）

由

此时

∴

又，∴，∴

∴实数a不存在

21、（本小题满分12分）

（1）若方程表示圆，则，∴

（2）设M、N的坐标分别为、

由，得

又，∴，∴    ①

由，得

∴代入①得，

∴

（3）设MN为直径的圆的方程为，

即

又

∴所求圆的方程为

22、（本小题满分14分）

（1）当时，

设x为其不动点，则，即

∴或2，即的不动点是－1，2

（2）由得

由题意知，此方程恒有两个相异的实根

∴对任意的恒成立

∴，∴

（3）设，则直线AB的斜率，∴

由（2）知AB中点M的坐标为

又∵M在线段AB的垂直平分线上，∴

∴（当且仅当时取等号）

∴实数b的取值范围为