题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分12分）如图，已知椭圆C：
，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．（1）是否存在k，使对任意m>0，总有
成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若
，求实数k的取值范围．
（本小题满分12分）
如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为
、
，证明
；
（Ⅲ）是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（本小题满分12分）
如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为
、
，证明
；
（Ⅲ）是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（本小题满分12分）
如图，已知椭圆
过点
，两个焦点分别为
，
为坐标原点，平行于
的直线
交椭圆于不同的两点
，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问直线
的斜率之和是否为定值，若为定值，求出以线段
为直径且过点
的圆的方程；若不存在，说明理由.
（本小题满分12分）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（I）设
，求
与
的比值；
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
一、选择题
1．A 2．B 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．A 9．C
10．B 11．B 12．C
二、填空题
13． －3
14．
15．2
16．
三、解答题
17．解：原不等式可化为
即
………………………………6分
当
…………8分
当
…………10分
当
…………12分
18．解：
………………6分
（1）函数
的最小正周期
…………8分
（2）
取得最大值.
最大值为
………………12分
19．解：
（1）甲恰好投中2次的概率为
………………3分
（2）乙至少投中2次的概率为
…………7分
（3）设甲、乙两人共投中5次为事件A，甲恰好投中3次且乙恰投中2次为事件B1，甲恰投中2次且乙恰好投中3次为事件B2，则A=B1+B2，B1，B2为互斥事件.
………………9分
………………11分
所以，甲、乙两人共投中5次的概率为
………………12分
20．解：
（1）
解得
（舍去）…………5分
（2）假设存在a，b使得
即
…………9分
对于一切自然数
解得
……………………12分
21．解：
（1）设椭圆方程为
，则
，
由题意得
………………4分
故椭圆方程为
………………6分
（2）设
，
…………10分
当
取到最大值，此时
最大，故的最大为
………………12分
22．解：由题设x1和x2是方程
.
所以
当
………………3分
由题意，不等式
对于任意实数
恒成立的m的解集等价于不等式
3的解集，由此不等式得
①
或
②………………6分
不等式①的解为
不等式②的解集为
因此，当
时，P是正确的…………7分
对函数
，求导得
令
此一元二次方程的判别式
若
的符号如下
x
+
0
+
因此，
的根植.
若
的符号如下
x
（
）
+
0
－
0
+
因此，函数
处取得极大值，在
处取得极小值
综上述，当且仅当
上有极值…………12分
由
是正确的.
综上，使p正确且q正确时，实数m的取值范围是
…………………………14分
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