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    例1． 在处可导.则 思路: 在处可导.必连续 ∴ ∴ 例2．已知f(x)在x=a处可导.且f′(a)=b.求下列极限: (1), (2) 分析:在导数定义中.增量△x的形式是多种多样.但不论△x选择哪种形式.△y也必须选择相对应的形式.利用函数f(x)在处可导的条件.可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式. 解:(1) (2) 说明:只有深刻理解概念的本质.才能灵活应用概念解题.解决这类问题的关键是等价变形.使极限式转化为导数定义的结构形式. 例3．观察...是否可判断.可导的奇函数的导函数是偶函数.可导的偶函数的导函数是奇函数. 解:若为偶函数 令 ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证: ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 例4．(1)求曲线在点(1.1)处的切线方程, (2)运动曲线方程为.求t=3时的速度. 分析:根据导数的几何意义及导数的物理意义可知.函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率.瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数. 解:(1). .即曲线在点(1.1)处的切线斜率k=0 因此曲线在(1.1)处的切线方程为y=1 (2) . 例5． 求下列函数单调区间 (1) (2) (3) (4) 解:(1) 时 ∴ . (2) ∴ . (3) ∴ ∴ . . (4) 定义域为 例6．求证下列不等式 (1) (2) (3) 证:(1) ∴ 为上 ∴ 恒成立 ∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立 (2)原式 令 ∴ ∴ ∴ (3)令 ∴ ∴ 例7．利用导数求和: (1), (2). 分析:这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决.转换思维角度.由求导公式.可联想到它们是另外一个和式的导数.利用导数运算可使问题的解决更加简捷. 解:(1)当x=1时. , 当x≠1时. ∵. 两边都是关于x的函数.求导得 即 (2)∵. 两边都是关于x的函数.求导得. 令x=1得 . 即. 例8．求满足条件的 (1)使为上增函数 (2)使为上-- (3)使为上 解:(1) ∴ 时 也成立 ∴ (2) 时 也成立 ∴ (3) 例9．(1)求证 (2) 求证 (1)证:令 ∴ 原不等式 令 ∴ ∴ ∴ ∴ 令 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ (2)令 上式也成立 将各式相加 即 例10．(2003年普通高等学校招生全国统一考试 设.求函数的单调区间. 分析:本小题主要考查导数的概念和计算.应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解:. 当时 . (i)当时.对所有.有. 即.此时在内单调递增. (ii)当时.对.有. 即.此时在(0.1)内单调递增.又知函数在x=1处连续.因此. 函数在(0.+)内单调递增 (iii)当时.令.即. 解得. 因此.函数在区间内单调递增.在区间 内也单调递增. 令. 解得. 因此.函数在区间内单调递减. 说明:本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间.只有用导数才行.这是教材新增的内容.其理论依据如下(人教版试验本第三册P148): 设函数在某个区间内可导.如果.则为增函数,如果.则为减函数.如果.则为常数. 例11．已知抛物线与直线y=x+2相交于A.B两点.过A.B两点的切线分别为和. (1)求A.B两点的坐标, (2)求直线与的夹角. 分析:理解导数的几何意义是解决本例的关键. 解 (1)由方程组 解得 A (2)由y′=2x.则..设两直线的夹角为θ.根据两直线的夹角公式. 所以 说明:本例中直线与抛物线的交点处的切线.就是该点处抛物线的切线.注意两条直线的夹角公式有绝对值符号. 例12．设.是上的偶函数. (I)求的值, (II)证明在上是增函数. 解:(I)依题意.对一切有.即. ∴对一切成立. 由此得到.. 又∵.∴. (II)证明:由.得. 当时.有.此时. ∴在上是增函数. 例13．设函数.其中. (I)解不等式, (II)证明:当时.函数在区间上是单调函数. 解1:(I)分类讨论解无理不等式(略). . 解2: (i)当时.有.此时.函数在区间上是单调递减函数.但.因此.当且仅当时.. (ii)当时.解不等式.得.在区间上是单调递减函数. 解方程.得或. ∵. ∴当且仅当时.. 综上.(I)当时.所给不等式的解集为:, 当时.所给不等式的解集为:. (II)当且仅当时.函数在区间上时单调函数. 例14．(2002年普通高等学校招生全国统一考试 已知.函数设.记曲线在点处的切线为. (Ⅰ)求的方程, (Ⅱ)设与轴的交点为.证明:①②若.则 解:(1)的导数.由此得切线的方程 . (2)依题得.切线方程中令.得 .其中. (ⅰ)由..有.及. ∴.当且仅当时.. (ⅱ)当时..因此..且由(ⅰ).. 所以. 例15．(2003年普通高等学校招生全国统一考试 已知为正整数. (Ⅰ)设, (Ⅱ)设 分析:本小题主要考查导数.不等式证明等知识.考查综合运用所数学知识解决问题的能力. 证明:(Ⅰ)因为. 所以 (Ⅱ)对函数求导数: ∴ 即对任意 【查看更多】

     

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