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    数列的极限 我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念. ⑴.数列:若按照一定的法则.有第一个数a1.第二个数a2.-.依次排列下去.使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an.那末.我们称这列有次序的数a1.a2.-.an.-为数列.数列中的每一个数叫做数列的项.第n项an叫做数列的一般项或通项. 注:我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数.即:an=.它的定义域是全体正整数 ⑵.极限:极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的. 例:我们可通过作圆的内接正多边形.近似求出圆的面积. 设有一圆.首先作圆内接正六边形.把它的面积记为A1,再作圆的内接正十二边形.其面积记为A2,再作圆的内接正二十四边形.其面积记为A3,依次循下去(一般把内接正6×2n-1边形的面积记为An)可得一系列内接正多边形的面积:A1.A2.A3.-.An.-.它们就构成一列有序数列.我们可以发现.当内接正多边形的边数无限增加时.An也无限接近某一确定的数值.这个确定的数值在数学上被称为数列A1.A2.A3.-.An.- 当n→∞的极限. 注:上面这个例子就是我国古代数学家刘徽的割圆术. ⑶.数列的极限:一般地.对于数列来说.若存在任意给定的正数ε.总存在正整数N.使得对于n＞N时的一切不等式都成立.那末就称常数a是数列的极限.或者称数列收敛于a . 记作:或 注:此定义中的正数ε只有任意给定.不等式才能表达出与a无限接近的意思.且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的.它是随着ε的给定而选定的. ⑷.数列的极限的几何解释:在此我们可能不易理解这个概念.下面我们再给出它的一个几何解释.以使我们能理解它.数列极限为a的一个几何解释:将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来.再在数轴上作点a的ε邻域即开区间.如下图所示: 因不等式与不等式等价.故当n＞N时.所有的点都落在开区间内.而只有有限个在此区间以外. 注:至于如何求数列的极限.我们在以后会学习到.这里我们不作讨论. ⑸.数列的有界性:对于数列.若存在着正数M.使得一切都满足不等式││≤M.则称数列是有界的.若正数M不存在.则可说数列是无界的. 定理:若数列收敛.那末数列一定有界. 注:有界的数列不一定收敛.即:数列有界是数列收敛的必要条件.但不是充分条件.例:数列 1.-1.1.-1.-.(-1)n+1.- 是有界的.但它是发散的. 【查看更多】

     

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