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    函数极限的运算规则 前面已经学习了数列极限的运算规则.我们知道数列可作为一类特殊的函数.故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似. ⑴.函数极限的运算规则 若已知x→x0时.. 则: 推论: 在求函数的极限时.利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限. 例题:求 解答: 例题:求 此题如果像上题那样求解.则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限.像这种情况怎么办呢?下面我们把它解出来. 解答: 注:通过此例题我们可以发现:当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了.应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形.然后运用规则求之. 函数极限的存在准则 学习函数极限的存在准则之前.我们先来学习一下左.右的概念. 我们先来看一个例子: 例:符号函数为 对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左.右极限的概念. 定义:如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时.函数与常量A无限接近.则称A为函数当时的左极限.记: 如果x仅从右侧(x＞x0)趋近x0时.函数与常量A无限接近.则称A为函数当时的右极限.记: 注:只有当x→x0时.函数的左.右极限存在且相等.方称在x→x0时有极限 函数极限的存在准则 准则一:对于点x0的某一邻域内的一切x.x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有≤≤.且. 那末存在.且等于A 注:此准则也就是夹逼准则. 准则二:单调有界的函数必有极限. 注:有极限的函数不一定单调有界 两个重要的极限 一: 注:其中e为无理数.它的值为:e=2.718281828459045... 二: 注:在此我们对这两个重要极限不加以证明. 注:我们要牢记这两个重要极限.在今后的解题中会经常用到它们. 例题:求 解答:令.则x=-2t.因为x→∞.故t→∞. 则 注:解此类型的题时.一定要注意代换后的变量的趋向情况.象x→∞时.若用t代换1/x.则t→0. 无穷大量和无穷小量 无穷大量 我们先来看一个例子: 已知函数.当x→0时.可知.我们把这种情况称为趋向无穷大.为此我们可定义如下:设有函数y=.在x=x0的去心邻域内有定义.对于任意给定的正数N.总可找到正数δ.当 时.成立.则称函数当时为无穷大量. 记为:(表示为无穷大量.实际它是没有极限的) 同样我们可以给出当x→∞时.无限趋大的定义:设有函数y=.当x充分大时有定义.对于任意给定的正数N.总可以找到正数M.当时.成立.则称函数当x→∞时是无穷大量.记为: 无穷小量 以零为极限的变量称为无穷小量. 定义:设有函数.对于任意给定的正数ε.总存在正数δ(或正数M).使得对于适合不等式(或)的一切x.所对应的函数值满足不等式.则称函数当时 为无穷小量. 记作:(或) 注意:无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量.不是常量.只有0可作为无穷小量的唯一常量.无穷大量与无穷小量的区别是:前者无界.后者有界.前者发散.后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的. 关于无穷小量的两个定理 定理一:如果函数在时有极限A.则差是当时的无穷小量.反之亦成立. 定理二:无穷小量的有利运算定理 a):有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量, b):有限个无穷小量的积仍是无穷小量,c):常数与无穷小量的积也是无穷小量. 无穷小量的比较 通过前面的学习我们已经知道.两个无穷小量的和.差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢?好!接下来我们就来解决这个问题.这就是我们要学的两个无穷小量的比较. 定义:设α.β都是时的无穷小量.且β在x0的去心领域内不为零. a):如果.则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小, b):如果.则称α和β是同阶无穷小, c):如果.则称α和β是等价无穷小.记作:α∽β 例:因为.所以当x→0时.x与3x是同阶无穷小, 因为.所以当x→0时.x2是3x的高阶无穷小, 因为.所以当x→0时.sinx与x是等价无穷小. 等价无穷小的性质 设.且存在.则. 注:这个性质表明:求两个无穷小之比的极限时.分子及分母都可用等价无穷小来代替.因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题. 例题:1.求 解答:当x→0时.sinax∽ax.tanbx∽bx.故: 例题: 2.求 解答: 注: 注:从这个例题中我们可以发现.作无穷小变换时.要代换式中的某一项.不能只代换某个因子. 函数的一重要性质--连续性 在自然界中有许多现象.如气温的变化.植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映.就是函数的连续性 在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念--增量 设变量x从它的一个初值x1变到终值x2.终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量.记为:△x即:△x=x2-x1 增量△x可正可负. 我们再来看一个例子:函数在点x0的邻域内有定义.当自变量x在领域内从x0变到x0+△x时.函数y相应地从变到.其对应的增量为: 这个关系式的几何解释如下图: 现在我们可对连续性的概念这样描述:如果当△x趋向于零时.函数y对应的增量△y也趋向于零.即:.那末就称函数在点x0处连续. 函数连续性的定义: 设函数在点x0的某个邻域内有定义.如果有称函数在点x0处连续.且称x0为函数的的连续点. 下面我们结合着函数左.右极限的概念再来学习一下函数左.右连续的概念:设函数在区间(a,b]内有定义.如果左极限存在且等于.即:=.那末我们就称函数在点b左连续.设函数在区间[a,b)内有定义.如果右极限存在且等于.即:=.那末我们就称函数在点a右连续. 一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续.若又在a点右连续.b点左连续.则在闭区间[a.b]连续.如果在整个定义域内连续.则称为连续函数. 注:一个函数若在定义域内某一点左.右都连续.则称函数在此点连续.否则在此点不连续. 注:连续函数图形是一条连续而不间断的曲线. 通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了.同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢?接着我们就来学习这个问题:函数的间断点 函数的间断点 定义:我们把不满足函数连续性的点称之为间断点. 它包括三种情形: a):在x0无定义, b):在x→x0时无极限, c):在x→x0时有极限但不等于, 下面我们通过例题来学习一下间断点的类型: 例1: 正切函数在处没有定义.所以点是函数的间断点.因.我们就称为函数的无穷间断点, 例2:函数在点x=0处没有定义,故当x→0时.函数值在-1与+1之间变动无限多次.我们就称点x=0叫做函数的振荡间断点, 例3:函数当x→0时.左极限.右极限.从这我们可以看出函数左.右极限虽然都存在.但不相等.故函数在点x=0是不存在极限.我们还可以发现在点x=0时.函数值产生跳跃现象.为此我们把这种间断点称为跳跃间断点,我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下: 间断点的分类 我们通常把间断点分成两类:如果x0是函数的间断点.且其左.右极限都存在.我们把x0称为函数的第一类间断点,不是第一类间断点的任何间断点.称为第二类间断点. 可去间断点 若x0是函数的间断点.但极限存在.那末x0是函数的第一类间断点.此时函数不连续原因是:不存在或者是存在但≠.我们令.则可使函数在点x0处连续.故这种间断点x0称为可去间断点. 连续函数的性质及初等函数的连续性 连续函数的性质 函数的和.积.商的连续性 我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则.可得出以下结论: a):有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数, b):有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数, c):两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数, 反函数的连续性 若函数在某区间上单调增且连续.那末它的反函数也在对应的区间上单调增且连续 例:函数在闭区间上单调增且连续.故它的反函数在闭区间[-1,1]上也是单调增且连续的. 复合函数的连续性 设函数当x→x0时的极限存在且等于a.即:.而函数在点u=a连续.那末复合函数当x→x0时的极限也存在且等于.即: 例题:求 解答: 注:函数可看作与复合而成.且函数在点u=e连续.因此可得出上述结论. 设函数在点x=x0连续.且.而函数在点u=u0连续.那末复合函数在点x=x0也是连续的 初等函数的连续性 通过前面我们所学的概念和性质.我们可得出以下结论:基本初等函数在它们的定义域内都是连续的,一切初等函数在其定义域内也都是连续的. 闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续.右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质.下面我们来学习一下: 最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 例:函数y=sinx在闭区间[0.2π]上连续.则在点x=π/2处.它的函数值为1.且大于闭区间[0.2π]上其它各点出的函数值,则在点x=3π/2处.它的函数值为-1.且小于闭区间[0.2π]上其它各点出的函数值. 介值定理 在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值.即:.μ在α.β之间.则在[a.b]间一定有一个ξ.使 推论: 在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值. 【查看更多】

     

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