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    微分学中值定理 在给出微分学中值定理的数学定义之前.我们先从几何的角度看一个问题.如下: 设有连续函数.a与b是它定义区间内的两点.假定此函数在(a,b)处处可导.也就是在(a,b)内的函数图形上处处都由切线.那末我们从图形上容易直到. 差商就是割线AB的斜率.若我们把割线AB作平行于自身的移动.那么至少有一次机会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线.而曲线的斜率为.由于切线与割线是平行的.因此 成立. 注:这个结果就称为微分学中值定理.也称为拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数在闭区间[a,b]上连续.在开区间(a,b)内可导.那末在(a,b)内至少有一点c.使 成立. 这个定理的特殊情形.即:的情形.称为罗尔定理.描述如下: 若在闭区间[a,b]上连续.在开区间(a,b)内可导.且.那末在(a,b)内至少有一点c.使成立. 注:这个定理是罗尔在17世纪初.在微积分发明之前以几何的形式提出来的. 注:在此我们对这两个定理不加以证明.若有什么疑问.请参考相关书籍 下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理--柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数.在闭区间[a.b]上连续.在开区间(a.b)内可导.且≠0.那末在(a.b)内至少有一点c.使成立. 例题:证明方程在0与1之间至少有一个实根 证明:不难发现方程左端是函数的导数: 函数在[0.1]上连续.在(0,1)内可导.且.由罗尔定理 可知.在0与1之间至少有一点c.使.即 也就是:方程在0与1之间至少有一个实根 未定式问题 问题:什么样的式子称作未定式呢? 答案:对于函数,来说.当x→a时.函数,都趋于零或无穷大 则极限可能存在.也可能不存在.我们就把式子称为未定式.分别记为型 我们容易知道.对于未定式的极限求法.是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的.那么我们该如何求这类问题的极限呢? 下面我们来学习罗彼塔法则.它就是这个问题的答案 注:它是根据柯西中值定理推出来的. 罗彼塔法则 当x→a时.函数,都趋于零或无穷大.在点a的某个去心邻域内时.与都存在.≠0.且存在 则:= 这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法.就是所谓的罗彼塔法则 注:它是以前求极限的法则的补充.以前利用法则不好求的极限.可利用此法则求解. 例题:求 解答:容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的.因为它是未定式中的型求解问题.因此我们就可以利用上面所学的法则了. 例题:求 解答:此题为未定式中的型求解问题.利用罗彼塔法则来求解 另外.若遇到 .. . . 等型.通常是转化为型后.在利用法则求解. 例题:求 解答:此题利用以前所学的法则是不好求解的.它为型.故可先将其转化为型后在求解. 注:罗彼塔法则只是说明:对未定式来说.当存在.则存在且二者的极限相同,而并不是不存在时.也不存在.此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列. 函数单调性的判定法 函数的单调性也就是函数的增减性.怎样才能判断函数的增减性呢? 我们知道若函数在某区间上单调增.则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正,也就是函数的导数在此区间上均取正值.因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性. 判定方法: 设函数在[a,b]上连续.在:如果在(a,b)内＞0.那末函数在[a,b]上单调增加, b):如果在(a,b)内＜0.那末函数在[a,b]上单调减少. 例题:确定函数的增减区间. 解答:容易确定此函数的定义域为 其导数为:.因此可以判出: 当x＞0时.＞0.故它的单调增区间为, 当x＜0时.＜0.故它的单调减区间为, 注:此判定方法若反过来讲.则是不正确的. 函数的极值及其求法 在学习函数的极值之前.我们先来看一例子: 设有函数.容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点.又可知在点x=1左侧附近.函数值是单调增加的.在点x=1右侧附近.函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x.＜均成立.点x=2也有类似的情况,为什么这些点有这些性质呢? 事实上.这就是我们将要学习的内容--函数的极值. 函数极值的定义 设函数在区间(a,b)内有定义.x0是(a,b)内一点. 若存在着x0点的一个邻域.对于这个邻域内任何点x(x0点除外).＜均成立. 则说是函数的一个极大值, 若存在着x0点的一个邻域.对于这个邻域内任何点x(x0点除外).＞均成立. 则说是函数的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值.使函数取得极值的点称为极值点. 我们知道了函数极值的定义了.怎样求函数的极值呢? 学习这个问题之前.我们再来学习一个概念--驻点 凡是使的x点.称为函数的驻点. 判断极值点存在的方法有两种:如下 方法一: 设函数在x0点的邻域可导.且. 情况一:若当x取x0左侧邻近值时.＞0.当x取x0右侧邻近值时.＜0. 则函数在x0点取极大值. 情况一:若当x取x0左侧邻近值时.＜0.当x取x0右侧邻近值时.＞0. 则函数在x0点取极小值. 注:此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况. 用方法一求极值的一般步骤是: a):求, b):求的全部的解--驻点, c):判断在驻点两侧的变化规律.即可判断出函数的极值. 例题:求极值点 解答:先求导数 再求出驻点:当时.x=-2.1.-4/5 判定函数的极值.如下图所示 方法二: 设函数在x0点具有二阶导数.且时. 则:a):当＜0.函数在x0点取极大值, b):当＞0.函数在x0点取极小值, c):当=0.其情形不一定.可由方法一来判定. 例题:我们仍以例1为例.以比较这两种方法的区别. 解答:上面我们已求出了此函数的驻点.下面我们再来求它的二阶导数. .故此时的情形不确定.我们可由方法一来判定, ＜0.故此点为极大值点, ＞0.故此点为极小值点. 函数的最大值.最小值及其应用 在工农业生产.工程技术及科学实验中.常会遇到这样一类问题:在一定条件下.怎样使"产品最多"."用料最省"."成本最低"等. 这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值.最小值的问题. 怎样求函数的最大值.最小值呢?前面我们已经知道了.函数的极值是局部的.要求在[a,b]上的最大值.最小值时.可求出开区间(a,b)内全部的极值点.加上端点的值.从中取得最大值.最小值即为所求. 例题:求函数.在区间[-3.3/2]的最大值.最小值. 解答:在此区间处处可导. 先来求函数的极值.故x=±1. 再来比较端点与极值点的函数值.取出最大值与最小值即为所求. 因为... 故函数的最大值为.函数的最小值为. 例题:圆柱形罐头.高度H与半径R应怎样配.使同样容积下材料最省? 解答:由题意可知:为一常数. 面积 故在V不变的条件下.改变R使S取最小值. 故:时.用料最省. 曲线的凹向与拐点 通过前面的学习.我们知道由一阶导数的正负.可以判定出函数的单调区间与极值.但是还不能进一步研究曲线的性态.为此我们还要了解曲线的凹性. 定义: 对区间I的曲线作切线.如果曲线弧在所有切线的下面.则称曲线在区间I下凹.如果曲线在切线的上面.称曲线在区间I上凹. 曲线凹向的判定定理 定理一:设函数在区间(a,b)上可导.它对应曲线是向上凹的充分必要条件是: 导数在区间(a,b)上是单调增. 定理二:设函数在区间(a,b)上可导.并且具有一阶导数和二阶导数,那末: 若在(a,b)内.＞0.则在[a,b]对应的曲线是下凹的, 若在(a,b)内.＜0.则在[a,b]对应的曲线是上凹的, 例题:判断函数的凹向 解答:我们根据定理二来判定. 因为.所以在函数的定义域内.＜0. 故函数所对应的曲线时下凹的. 拐点的定义 连续函数上.上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点. 拐定的判定方法 如果在区间(a,b)内具有二阶导数.我们可按下列步骤来判定的拐点. (1):求, (2):令=0.解出此方程在区间:对于(2)中解出的每一个实根x0.检查在x0左.右两侧邻近的符号.若符号相反.则此点是拐点.若相同.则不是拐点. 例题:求曲线的拐点. 解答:由. 令=0.得x=0.2/3 判断在0.2/3左.右两侧邻近的符号.可知此两点皆是曲线的拐点. 【查看更多】

     

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