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    定积分的概念 我们先来看一个实际问题---求曲边梯形的面积. 设曲边梯形是有连续曲线y=f(x).x轴与直线x=a.x=b所围成.如下图所示: 现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法.但是此图形有一边是一条曲线.该如何求呢? 我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动.而且它的高是连续变化的.因此在很小的一段区间的变化很小.近似于不变.并且当区间的长度无限缩小时.高的变化也无限减小.因此.如果把区间[a,b]分成许多小区间.在每个小区间上.用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高.我们再根据矩形的面积公式.即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值.从而求出整个曲边梯形的近似值. 显然:把区间[a,b]分的越细.所求出的面积值越接近于精确值.为此我们产生了定积分的概念. 定积分的概念 设函数f(x)在[a,b]上有界.在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<...<xn-1<xn=b 把区间[a,b]分成n个小区间 [x0.x1]....[xn-1,xn], 在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi. 并作出和. 如果不论对[a,b]怎样分法.也不论在小区间上的点ξi怎样取法.只要当区间的长度趋于零时.和S总趋于确定的极限I. 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分. 记作. 即: 关于定积分的问题 我们有了定积分的概念了.那么函数f(x)满足什么条件时才可积? 定理在区间[a,b]上连续.则f(x)在区间[a,b]上可积. 在区间[a,b]上有界.且只有有限个间断点.则f(x)在区间[a,b]上可积. 定积分的性质 性质得定积分等于它们的定积分的和(差). 即: 性质(2):被积函数的常数因子可以提到积分号外面. 即: 性质(3):如果在区间[a,b]上.f.则≤ :设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值.则 m(b-a)≤≤M:如果f(x)在区间[a,b]上连续.则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ.使下式成立: =f 注:此性质就是定积分中值定理. 微积分积分公式 积分上限的函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续.并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续.因此此定积分存在. 如果上限x在区间[a,b]上任意变动.则对于每一个取定的x值.定积分有一个对应值.所以它在[a,b]上定义了一个函数.记作φ(x): 注意:为了明确起见.我们改换了积分变量(定积分与积分变量的记法无关) 定理在区间[a,b]上连续.则积分上限的函数在[a,b]上具有导数. 并且它的导数是 :如果函数f(x)在区间[a,b]上连续.则函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数. 注意:定理(2)即肯定了连续函数的原函数是存在的.又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 牛顿--莱布尼兹公式 定理是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.则 注意:此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式.它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系. 它表明:一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量.因此它就 给定积分提供了一个有效而简便的计算方法. 例题:求 解答:我们由牛顿-莱布尼兹公式得: 注意:通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式. 定积分的换元法与分部积分法 定积分的换元法 我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量.在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数.因此.在一定条件下.可以用换元法来计算定积分. 定理:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数,当t在区间[m,n]上变化时.x=g(t)的值在[a,b]上变化.且g=b,则有定积分的换元公式: 例题:计算 解答:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时.t=0,当x=a时.t=π/2.于是: 注意:在使用定积分的换元法时.当积分变量变换时.积分的上下限也要作相应的变换. 定积分的分部积分法 计算不定积分有分部积分法.相应地.计算定积分也有分部积分法. 设u在区间[a,b]上具有连续导数u''=u'v+uv',分别求此等式两端在[a,b]上的定积分.并移向得: 上式即为定积分的分部积分公式. 例题:计算 解答:设.且当x=0时.t=0,当x=1时.t=1.由前面的换元公式得: 再用分部积分公式计算上式的右端的积分.设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.于是: 故: 广义积分 在一些实际问题中.我们常遇到积分区间为无穷区间.或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分.它们已不属于前面我们所学习的定积分了.为此我们对定积分加以推广.也就是---广义积分. 一:积分区间为无穷区间的广义积分 设函数f上连续.取b>a.如果极限 存在. 则此极限叫做函数f上的广义积分. 记作:. 即:=. 此时也就是说广义积分收敛.如果上述即先不存在.则说广义积分发散.此时虽然用同样的记号.但它已不表示数值了. 类似地.设函数f(x)在区间(-∞.b]上连续.取a<b.如果极限 存在. 则此极限叫做函数f(x)在无穷区间(-∞.b]上的广义积分. 记作:. 即:=. 此时也就是说广义积分收敛.如果上述极限不存在.就说广义积分发散. 如果广义积分和都收敛.则称上述两广义积分之和为函数f上的广义积分. 记作:. 即:= 上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分. 例题:计算广义积分 解答: 二:积分区间有无穷间断点的广义积分 设函数f(x)在(a,b]上连续.而.取ε>0.如果极限 存在.则极限叫做函数f(x)在(a,b]上的广义积分. 仍然记作:. 即:=. 这时也说广义积分收敛.如果上述极限不存在.就说广义积分发散. 类似地.设f上连续.而.取ε>0.如果极限 存在. 则定义=, 否则就说广义积分发散. 又.设f(x)在[a,b]上除点c外连续.而.如果两个广义积分和都收敛. 则定义:=+. 否则就说广义积分发散. 例题:计算广义积分 解答:因为.所以x=a为被积函数的无穷间断点.于是我们有上面所学得公式可得: 【查看更多】

     

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