空间直角坐标系空间点的直角坐标系为了沟通空间图形与数的研究.我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系.为此我们通过引进空间直角坐标系来实现. 过定点O.作三条互相垂直的数轴.它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴.z轴,统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上.而z轴则是铅垂线,它们的正方向要符合右手规则.即以右手握住z轴.当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时.大拇指的指向就是z轴的正向.这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系.点O叫做坐标原点. 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面.这样定出的三个平面统称坐标面. 取定了空间直角坐标系后.就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系. 例:设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴.y轴.z轴.它们与x轴.y轴.z轴的交点依次为P.Q.R.这三点在x轴.y轴.z轴的坐标依次为x.y.z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标.并依次称x,y和z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标. 坐标为x,y,z的点M通常记为M. 这样.通过空间直角坐标系.我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系. 注意:坐标面上和坐标轴上的点.其坐标各有一定的特征. 例:如果点M在yOz平面上.则x=0,同样.zOx面上的点.y=0,如果点M在x轴上.则y=z=0,如果M是原点. 则x=y=z=0.等. 空间两点间的距离设M1(x1,y1,z1).M2(x2,y2,z2)为空间两点.为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式: 例题:证明以A,C为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答:由两点间距离公式得: 由于.所以△ABC是一等腰三角形方向余弦与方向数解析几何中除了两点间的距离外.还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向. 方向角与方向余弦设有空间两点.若以P1为始点.另一点P2为终点的线段称为有向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π. 关于方向角的问题若有向线段的方向确定了.则其方向角也是唯一确定的. 方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦. 设有空间两点.则其方向余弦可表示为: 从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关系式: 注意:从原点出发的任一单位的有向线段的方向余弦就是其端点坐标. 方向数方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向.但是.如果只需要确定一条空间直线的方位(一条直线的两个方向均确定着同一方位).那末就不一定需要知道方向余弦.而只要知道与方向余弦成比例的三个数就可以了.这三个与方向余弦成比例且不全为零的数A.B.C称为空间直线的方向数.记作:{A.B.C}.即: 据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式: .. 其中:根式取正负号分别得到两组方向余弦.它们代表两个相反的方向. 关于方向数的问题空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数. 两直线的夹角设L1与L2是空间的任意两条直线.它们可能相交.也可能不相交.通过原点O作平行与两条直线的线段.则线段的夹角称为此两直线L1与L2的夹角. 若知道L1与L2的方向余弦则有公式为: 其中:θ为两直线的夹角. 若知道L1与L2的方向数则有公式为: 两直线平行.垂直的条件两直线平行的充分必要条件为: 两直线垂直的充分必要条件为: 平面与空间直线平面及其方程我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线. 设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}A2+B2+C2≠0.则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为: 注意:此种形式的方程称为平面方程的点法式. 例题:设直线L的方向数为{3.-4.8}.求通过点且垂直于直线L的平面方程. 解答:应用上面的公式得所求的平面方程为: 即我们把形式为: Ax+By+Cz+D=0. 称为平面方程的一般式.其中x,y,z的系数A.B.C是平面的法线的一组方向数. 几种特殊位置平面的方程 1.通过原点其平面方程的一般形式为: Ax+By+Cz=0. 2.平行于坐标轴平行于x轴的平面方程的一般形式为: By+Cz+D=0. 平行于y轴的平面方程的一般形式为: Ax+Cz+D=0. 平行于z轴的平面方程的一般形式为: Ax+By+D=0. 3.通过坐标轴通过x轴的平面方程的一般形式为: By+Cz=0. 通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为: Ax+Cz=0.Ax+By=0. 4.垂直于坐标轴垂直于x.y.z轴的平面方程的一般形式为: Ax+D=0.By+D=0.Cz+D=0. 直线及其方程任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定.因而此直线的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来. 设已知直线L的方向数为{l,m,n}.又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为: 上式就是直线L的方程.这种方程的形式被称为直线方程的对称式. 直线方程也有一般式.它是有两个平面方程联立得到的.如下: 这就是直线方程的一般式. 平面.直线间的平行垂直关系对于一个给定的平面.它的法线也就可以知道了.因此平面间的平行与垂直关系.也就转化为直线间的平行与垂直关系.平面与直线间的平行与垂直关系.也就是平面的法线与直线的平行与垂直关系. 总的来说.平面.直线间的垂直与平行关系.最终都转化为直线与直线的平行与垂直关系.在此我们就不列举例题了. 曲面与空间曲线曲面的方程我们知道.在平面解析几何中可把曲线看成是动点的轨迹.因此.在空间中曲面可看成是一个动点或一条动曲线按一定的条件或规律运动而产生的轨迹. 设曲面上动点P的坐标为.由这一条件或规律就能导出一个含有变量x,y,z的方程: 如果此方程当且仅当P为曲面上的点时.才为P点的坐标所满足.那末我们就用这个方程表示曲面.并称这个方程为曲面的方程.把这个曲面称为方程的图形. 空间曲线的方程我们知道.空间直线可看成两平面的交线.因而它的方程可用此两相交平面的方程的联立方程组来表示.这就是直线方程的一般式. 一般地.空间曲线也可以象空间直线那样看成是两个曲面的交线.因而空间曲线的方程就可由此两相交曲面方程的联立方程组来表示. 设有两个相交曲面.它们的方程是..那末联立方程组: 便是它们的交线方程. 两类常见的曲面 1.柱面设有动直线L沿一给定的曲线C移动.移动时始终与给定的直线M平行.这样由动直线L所形成的曲面称为柱面.动直线L称为柱面的母线.定曲线C称为柱面的准线. 2.旋转面设有一条平面曲线C.绕着同一平面内的一条直线L旋转一周.这样由C旋转所形成的曲面称为旋转面.曲线C称为旋转面的母线.直线L称为旋转面的轴. 下面我们再列举出几种常见的二次曲面二次曲面的名称二次曲面的方程椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)