已知，x∈R，函数f（x）=sin²（x+α）+sin²（x-α）-sin²x．
（1）求函数f（x）的奇偶性；
（2）是否存在常数α，使得对任意实数x，恒成立；如果存在，求出所有这样的α；如果不存在，请说明理由．

已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。
（1）求a的值；
（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；
（3）令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。

（2011•上海）定义域为R，且对任意实数x₁，x₂都满足不等式f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．
（1）已知函数f（x）=

x，x≥0 1 2 x，x＜0

，证明：f（x）∈M；
（2）写出一个函数f（x），使得f（x₀）∉M，并说明理由；
（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限

lim

n→∞

f(n)

n2

=1，

lim

n→∞

f(-n)

-n

=1．

（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）令ω=1，判断函数F（x）=f（x）+f（x+

π

2

）的奇偶性，并说明理由；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个

π

6

单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．