3．离散型随机变量的分布规律是如何表示的? 要想掌握离散型随机变量的统计规律性.必须要知道它所有可能取的值及取每一个值的概率．将这些信息用表格形式表达出来就得到了离散型随机变量的分布列．设离散型随机——青夏教育精英家教网—

3．离散型随机变量的分布规律是如何表示的? 要想掌握离散型随机变量的统计规律性.必须要知道它所有可能取的值及取每一个值的概率．将这些信息用表格形式表达出来就得到了离散型随机变量的分布列．设离散型随机变量η的所有可能的取值为取每一个值的概率为.则η的分布列可表示为表1-1． η - - P - - 表1-1 由表1-1可以看出.求η的分布列的主要任务是计算η取各个值时的概率.我们可以通过以下方法来求． (1)利用古典概率的计算方法算出事件的概率．古典概率又称等可能概率.具有以下两个特点: ①试验的结果有有限个, ②试验中每个结果出现的可能性相同．由这两个限定条件可知掷硬币和掷骰子的试验是古典概率问题．如果设古典概率问题的结果数为n.则很容易知道随机变量取任一结果的概率都是． (2)根据有关分布的概率计算公式来计算事件的概率．我们常见的一些简单分布有两点分布.二项分布和几何分布等．它们各自有不同的特点． ①两点分布:对于一个随机试验.如果它的结果只有两种情况.则我们可用随机变量来描述这个随机试验的结果．如果甲结果发生的概率为P.则乙结果发生的概率必定为1-P.所以两点分布的分布列为表1-2． 1 0 P P 1-p 表1-2 ②二项分布:二项分布是两点分布的推广．二项分布同时满足以下四个条件: Ⅰ．每次试验都只有两种结果:成功或失败, Ⅱ．共进行n次试验.n为给定的正整数, Ⅲ．各次试验互相独立, Ⅳ．任何一次试验中成功的概率都是一样的．如果我们设在每次试验中成功的概率都为P.则在n次重复试验中.试验成功的次数是一个随机变量.用ξ来表示.则ξ服从二项分布．则在n次试验中恰好成功k次的概率为: 所以二项分布的分布列为表1-3: ξ 0 1 - - n P - - 表1-3 ③几何分布:重复进行独立试验.每次试验只有成功.失败两种可能.如果每次试验成功的概率为p.重复试验直到出现一次成功为止.则需要的试验次数是一个随机变量.用ξ表示.因此事件{ξ＝n}表示“第n次试验成功且前n-1次试验均失败．所以.其分布列如表1-4所示: ξ 1 2 - n - P p p(1-p) - - 表1-4 除了这三种简单的分布外.还有超几何分布和泊松分布等.这里就不一一列举了． (3)根据离散型随机变量的分布函数也可以确定其分布列．现对上面几种方法分别举例说明: 例1 将一个骰子连续投掷两次.以随机变量η表示两次所掷点数之和.请写出随机变量η的分布列．思路启迪一个骰子连掷两次.两次出现的点数相互独立.因此基本事件总数可用重复排列公式计算.应为．η表示两次所得总数之和.则η的所有可能取值为2.3.4.-.12．为了计算P.则必须先求出{η＝k}所包含的基本事件数．其基本事件数为满足k＝m+n(m≤6.n≤6.m.n为自然数)的m和n的所有正整数解的个数.并且每个基本事件发生的概率都为. 规范解法因为{η＝2}＝{第一.二次出现的点数均为1}.故 {η＝3}＝{第一次出现1点.第二次出现2点}+{第一次出现2点.第二次出现1点}.事件{η＝3}共包括两个基本事件．故 {η＝4}＝{第一次出现1点.第二次出现3点}+{第一次出现3点.第二次出现1点}+{第一.二次均出现2点}.即{η＝4}共包含三个基本事件.故．一般地.设第一个骰子出现的点数为.第二个骰子出现的点数为.显然与相互独立.且则由上式容易计算出η的分布列为: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 表1-5 例2 某种传染病进入羊群.已知此种传染病的发病率为.为了检验一种新药针剂是否对此传染病有防治疗效.给50头羊注射该种针剂.结果注射后有25头羊发病.试判断针剂是否有效? 思路启迪考虑在未注射针剂时.羊群中发病的羊的数量.因为每头羊只会出现两种情况:发病与未发病.所以发病的羊的数量服从二项分布．规范解法假定新药无效．将考查一头羊是否发病作为一次试验.则50头羊中发病头数η服从二项分布．即: 由.可得η的分布列的部分值如下: ≤20 21 22 23 24 25 ≥26 P 0.0001 0.0002 0.0005 0.0012 0.0028 0.0059 0.9893 表1-6 由此可得P＝0.0107.即事件“发病羊的数目少于26头发生的概率仅为0.0107.由概率的频率解释可知.在100次试验中.这种情况才可能出现一次.这类事件我们称之为 “小概率事件．由实际推断原理可知小概率事件在一次试验中基本不发生．也就是说.在“新药无效的假设下推断出来的结论“发病羊的数目少于26头几乎不会发生．这就与我们实际观察到的结果“发病率为相互矛盾.因此推翻“新药无效这一假设．从而该药品对羊群中的传染病确有疗效.使羊群发病率由减少到了．[注:上述推断的依据是:小概率事件在一次试验中基本不发生.推断的方法类似于通常用的反证法．] 例题中我们见到的小概率事件在生活中相当普遍．比如我们在购买彩票时.一张彩票中头奖的概率仅为十万分之一．所以买一张彩票就中头奖的事几乎不会发生．但由于我们的推断方法带有概率性质.所以我们不能说中头奖的事必然不会发生.否则买彩票就没什么意义了.这一点是概率论所研究的随机现象和我们以前数学所研究的确定性现象之间的主要区别.下面看一道例题: 例3 一篮球运动员投篮的命中率为60%.以η表示他首次投中时累计已投篮的次数.求η的分布列．思路启迪通过分析题目中的条件可知.事件{η＝k}表示该运动员共投篮k次.第k次投中且前k-1次均未投中.所以该事件发生的概率为: 规范解法设随机变量η表示运动员首次投中时累计已投篮的次数．易知η服从几何分布.又因为运动员投中的概率为0.6.故投不中的概率为1-0.6＝0.4.从而所以随机变量η的分布列为: 1 2 3 4 - k - P 0.6 0.24 0.096 0.0384 - - 表1-7 点评由上表观察.该运动员投5次时几乎总能投中.因为P＝0.0256.即事件“四次都未投中的概率只有0.0256.属于小概率事件．【查看更多】

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若离散型随机变量的分布列为