练习册

  • 练习册
  • 试题
    3．避免繁复运算的基本方法可以概括为:回避.选择.寻求.所谓回避.就是根据题设的几何特征.灵活运用曲线的有关定义.性质等.从而避免化简方程.求交点.解方程等繁复的运算.所谓选择.就是选择合适的公式.合适的参变量.合适的坐标系等.一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题.用参数方程可能会简单,在某一直角坐标系下运算复杂的问题.通过移轴可能会简单,在直角坐标系下运算复杂的问题.在极坐标系下可能会简单“所谓寻求 . [例题解析] 例1 设直线l:x=.定点A(,0).动点P到直线l的距离为d.且=.求动点P的轨迹C的方程. 解 设动点P(x,y).由题意得=. 由两边平方得.x2-2x+3+y2=(x2-x+). 即x2 - x+y2=. 经配方得(x-)2+y2=.即(x-)2+=1. 例2 已知抛物线C的对称轴与y轴平行.顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位.则在x轴上截得的线段长为原抛物线C在x轴上截得的线段长的一半,若将抛物线C向左平移1个单位.则所得抛物线过原点.求抛物线C的方程. 解 设所求抛物线方程为(x-h)2=a ① 由①的顶点到原点的距离为5.得=5 ② 在①中.令y=0.得x2-2hx+h2+ak=0.设方程的二根为x1,x2.则 |x1-x2|=2. 将抛物线①向上平移3个单位.得抛物线的方程为 (x-h)2=a 令y=0.得x2-2hx+h2+ak+3a=0.设方程的二根为x3,x4.则 |x3-x4|=2. 依题意得2=·2. 即 4=ak ③ 将抛物线①向左平移1个单位.得2=a(y-k), 由抛物线过原点.得(1-h)2=-ak ④ 由②③④得a=1.h=3,k=-4或a=4.h=-3,k=-4. ∴所求抛物线方程为(x-3)2=y+4.或(x+3)2=4(y+4). 例3 设椭圆+=1的两焦点为F1.F2.长轴两端点为A1.A2. (1)P是椭圆上一点.且∠F1PF2=60°.求△F1PF2的面积, (2)若椭圆上存在一点Q.使∠A1QA2=120°.求椭圆离心率e的取值范围. 解 (1)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=2a. 在△F1PF2中.|F1F2|=2c, ∠F1PF2=60°, 由余弦定理.得4c2=r12+r22 –2r1r2cos60°=(r1+r2)2 –3r1r2, 将r1+r2=2a代入.得r1r2=(a2-c2)= b2 ∴S△FPF=r1r2sin60° =·b2·=b2. (2)设点Q的坐标为(x0,y0).则b2x02+a2y02=a2b2. ∵∠A1QA2=120°,又不妨设A1(a,0),A2. ∴tan(π-∠A1QA2)=== 将x02=a2 -y02代入得= 解得,y0= ∵-b≤y0≤b ∴b2+2ab -a2≤0 即()2+2()-≤0.解得≤.e2=1-≥.且e2<1.∴≤e<1. 例4 设双曲线-=1的焦点分别为F1.F2.离心率为2. (1)求此双曲线的渐近线L1.L2的方程, (2)若A.B分别为L1.L2上的动点.且2|AB|=5|F1F2|.求线段AB的中点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线. 解 (1)由已知得已知双曲线的离心率为=2.解得a2=1.所以已知双曲线方程为y2-=1.它的渐近线L1.L2的方程为x-y=0和x+y=0. (2)因为|F1F2|=4.2|AB|=5|F1F2|.所以|AB|=10. 设A在L1上.B在L2上.则可以设A(y1,y1).B(-y2.y2). ∴=10 ① 设AB的中点M(x,y).则x=,y=. ∴y1-y2=,y1+y2=2y. 代入①得12y2+=100.即中点M的轨迹方程为+=1.是椭圆. 例5 已知椭圆的一个顶点为A.焦点在x轴上.其右焦点到直线x-y+2=0的距离为3. (1)求椭圆方程, (2)椭圆与直线y=kx+m相交于不同的两点M.N.当|AM|=|AN|时.求m的取值范围. 解 (1)设已知椭圆方程为+=1 其中b=1.又设右焦点为(c,0).则 =3.解得c=,∴a=. ∴椭圆方程为+y2=1. (2)设P为MN的中点. 解方程组得 (3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0 Δ= -12m2+36k2+12>0.得m2<3k2+1 ① 又xM+xN=,xP= yP=kxP+m=∴kAP= 又由MN⊥AP得 = -. 变形后.得2m=3k2+1 ② 把②代入①.得2m>m2,解得0<m<2. 又由②得k2=>0.解得m>. ∴<m<2. 例6 已知曲线C:x2-y2=1及直线L:y=kx-1.曲线C′与C关于直线L对称. (1)当k=1时.求曲线C′的方程, (2)求证:不论实数k为何值.C与C′恒有公共点. 解 是所求曲线C′上任意一点.P点关于直线L的对称点Q(x0,y0)在已知曲线C上. ∴ 解得 代入C的方程得(y+1)2-(x-1)2=1.即得C′的方程. (2)①当C与C′有公共点且在L上时.此公共点也即是C与L的公共点. ∴方程组有实数解, ∴方程x2-2=1有实根. ∴(1-k2)x2+2kx-2=0有实根. 当k2=1.即k=±1时.方程有实根x=±1.C与L有两个公共点, 当k2≠1.即k≠±1时.△=4k2+8(1-k2) ≥0. 解得-≤k≤.且k≠±1. ∴当-≤k≤时.C与L有公共点.C与C′也有公共点. ②当C与C′的公共点P不在L上时.则P点关于L的对称点Q也是C与C′的公共点.所以P.Q两点均在C上. 即C上有不同两点P.Q关于L对称. 设P.Q所在直线的方程是y= - x+b. 由消去y得 (1-)x2+x-b2-1=0 ∴△=+4(b2+1)(1-)>0 (1) 又PQ的中点M(xM,yM)在L上. 且 ∴将xM.yM代入L的方程得 =-1.即b=, 代入∪(-.0)∪(0, )∪. ∴k∈∪(-.0)∪(0, )∪时.C与C′有不在L上的公共点. 由于①与②中.k的解集的并集为实数集R.∴不论实数k为何值.C与C′恒有公共点. 例7 已知椭圆C的方程为x2+=1.点P(a,b)的坐标满足a2+≤1.过点P的直线l与椭圆交于A.B两点.点Q为线段AB的中点.求: (1)点Q的轨迹方程, (2)点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数. 解 (1)设点A.B的坐标分别为A(x1,y1).B(x2,y2).点Q的坐标为(x,y).当x1≠x2时.设直线l的斜率为k.则l的方程为y=k(x-a)+b. 又已知x12+=1,x22+=1 ① y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b ② ∴由①得 (x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 ③ 由②得 y1+ y2=k(x1+x2)-2ak+2b ④ ∴由③.④及x=.y=,k= 得点Q的坐标满足方程 2x2+y2-2ax-by=0 ⑤ 当x1=x2时.k不存在.此时l平行于y轴.因此AB的中点Q一定落在x轴上.即Q的坐标为(a,0).显然点Q的坐标满足方程⑤. 综上所述.点Q的坐标满足方程 2x2+y2-2ax-by=0 设方程⑤所表示的曲线为L. 则由 得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0 因为Δ=8b2(a2+-1),又已知a2+≤1, 所以当a2+=1时.△=0.曲线L与椭圆C有且只有一个交点P(a,b). 当a2+<1时.△<0.曲线L与椭圆没有交点. 因为(0,0)在椭圆C内.又在曲线L上.所以曲线L在椭圆内. 故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0. (2)由解得曲线L与y轴交于点. 由解得曲线L与x轴交于点. 当a=0.b=0.即点P.重合.曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0). 当a=0.且0<|b|≤1.即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时.曲线L与坐标轴有两个交点. 同理.当b=0且0<|a|≤1时.曲线成坐标轴有两个交点.当0<|a|≤1.0<|b|≤1.即点P(a,b)不在椭圆C外且不在坐标轴上时.曲线L与坐标有三个交点. 例8 在直角坐标系中.△ABC的两个顶点C.A的坐标分别为(0,0).(2.0).三个内角A.B.C满足2sinB=. (1)求顶点B的轨迹方程, (2)过顶点C作倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P.Q两点.当θ∈(0, )时.求△APQ面积S(θ)的最大值. 解 (1)设△ABC的三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c. 由正弦定理===2R. ∵2sinB= ∴2b=(a+c) ∵b=2 ∴a+c=4 即|BC|+|BA|=4. 由椭圆定义知.B点轨迹是以C.A为焦点.长轴长为4.中心在(.0)的椭圆. ∴B点轨迹方程为 +y2=1 (2)设直线PQ的方程为y=x·tanθ.θ∈(0.). 由 得(1+4tan2θ)x2 -2x-1=0. 设方程两根为x1.x2, 则x1+x2=, x1·x2= ∴|PQ|= = = = ∵点A到直线PQ的距离d==. (∵θ∈(0, ), ∴tanθ>0) ∴S(θ)= |PQ|·d =·· = = = =≤2 当且仅当sinθ=时. 即sinθ=,θ=arcsin时.等号成立. ∴s(θ)的最大值为2. 例9 设抛物线y2=2px的焦点为F.经过点F的直线交抛物线于A.B两点.点C在抛物线的准线上.且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O(2001年全国高考数学试题) 证明一 如图10-4.因为抛物线y2=2px的焦点为F(.0). 所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+; 代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0. 若记A(x1,y1),B(x2,y2).则y1,y2是该方程的两个根.所以y1y2= -p2.因为BC∥x轴.且点C在准线x= -上.所以点C的坐标为(-,y2). 故直线CO的斜率为k===. 即k也是直线OA的斜率.所以直线AC经过原点O . 证明二 如图10-5.记x轴与抛物线准线l的交点为E.过A作AD⊥l.D是垂足.则AD∥FE∥BC.连结AC.与EF相交于点N.则==.=.根据抛物线的几何性质.|AF|=|AD|.|BF|=|BC|.∴|EN|===|NF|.即点N是EF的中点.与抛物线顶点O重合.所以直线AC经过原点O. 例10如图10-6.已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|.点E分有向线所成的比例为λ.双曲线过C.D.E三点.且以A.B为焦点.当≤λ≤时.求双曲线离心率e的取值范围(2000年全国高考数学试题). 解 如图10-7.以AB的垂直平分线为y轴.直线AB为x轴.建立直角坐标系xOy,则CD⊥y轴.因为双曲线经过点C.D.且以A.B为焦点.由双曲线的对称性知C.D关于y轴对称.依题意.记A,C(,h),E(x0,y0).其中c=|AB|为双曲线的半焦距.h是梯形的高. 由定比分点坐标公式得 x0==,y0= 设双曲线的方程为-=1.则离心率e=. 由点C.E在双曲线上.将点C.E的坐标和e=代入双曲线方程得-=1 ① ()2-()2=1 ② 由①式得 =-1 ③ 将③式代入②式.整理得 =1+2λ.故λ=1-.由题设≤λ≤得.≤1-≤.解得≤e≤.所以双曲线的离心率的取值范围为[.]. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)


    同步练习册答案