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    求角与距离的关键是化归.即空间距离与角向平面距离与角化归.各种具体方法如下: (1)求空间中两点间的距离.一般转化为解直角三角形或斜三角形. (2)求点到直线的距离和点到平面的距离.一般转化为求直角三角形斜边上的高,或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高.即用体积法. (3)求异面直线所成的角.一般是平移转化法.方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点 .作另一条直线的平行线,或过空间任一点分别作两异面直线的平行线.这样就作出了两异面直线所成的角θ.构造一个含θ的三角形.解三角形即可.方法二是补形法:将空间图形补成熟悉的.完整的几何体.这样有利于找到两条异面直线所成的角θ. (4)求直线与平面所成的角.一般先确定直线与平面的交点.然后在直线上取一点作平面的垂线.再连接垂足和斜足(即得直接在平面内的射影).最后解由垂线.斜线.射影所组成的直角三角形.求出直线与平面所成的角. (5)求二面角.一般有直接法和间接法两种.所谓直接法求二面角.就是作出二面角的平面角来解.其中有棱二面角作平面角的方法通常有:①根据定义作二面角的平面角,②垂面法作二面角的平面角,③利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角,无棱二面角先作出棱后同上进行.间接法主要是投影法:即在一个平面α上的图形面积为S.它在另一个平面β上的投影面积为S′.这两个平面的夹角为θ.则S′=Scosθ. 求角和距离的基本步骤是作.证.算.此外还要特别注意融合在运算中的推理过程.推理是运算的基础.运算只是推理过程的延续.如求二面角.只有根据推理过程找到二面角后.进行简单的运算.才能求出.因此.求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证. [例题解析] 例1 如图7-1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F.G.H.L.M.N分别为A1D1.A1B1.BC.CD.DA.DE.CL的中点. (1)求证:EF⊥GF, (2)求证:MN∥平面EFGH, (3)若AB=2.求MN到平面EFGH的距离. 解 (1)如图7-2.作GQ⊥B1C1于Q.连接FQ.则GQ⊥平面A1B1C1D1.且Q为B1C1的中点. 在正方形A1B1C1D1中.由E.F.Q分别为A1D1.A1B1.B1C1的中点可证明EF⊥FQ.由三垂线定理得EF⊥GF. (2)连DG和EG. ∵N为CL的中点.由正方形的对称性.N也为DG的中点.在△DEG中.由三角形中位线性质得MN∥EG.又EG平面EFGH.MN平面EFGH. ∴MN∥平面EFGH. (3)图7-3为图7-2的顶视图.连NH和NE.设N到平面EFGH的距离为h. ∵VE-NGH=VN-HEG ∴·AA1·S△NHG=·h·S△HEG 2·=h··EH·HG 又∵EH==,HG= ∴ =h··· h= 例2 如图7-4.已知△ABC中. ∠ACB=90°.CD⊥AB.且AD=1.BD=2.△ACD绕CD旋转至A′CD.使点A′与点B之间的距离A′B=. (1)求证:BA′⊥平面A′CD, (2)求二面角A′-CD-B的大小, (3)求异面直线A′C与BD所成的角的余弦值. 解 (1)∵CD⊥AB. ∴CD⊥A′D.CD⊥DB. ∴CD⊥平面A′BD. ∴CD⊥BA′. 又在△A′DB中.A′D=1.DB=2.A′B=. ∴∠BA′D=90°.即BA′⊥A′D. ∴BA′⊥平面A′CD. (2)∵CD⊥DB.CD⊥A′D. ∴∠BDA′是二面角A′-CD-B的平面角. 又Rt△A′BD中.A′D=1.BD=2. ∴∠A′DB=60°. 即 二面角A′-CD-B为60°. (3)过A′作A′E∥BD.在平面A′BD中作DE⊥A′E于E.连CE.则∠CA′E为A′C与BD所成角. ∵CD⊥平面A′BD.DE⊥A′E.∴A′E⊥CE. ∵EA′∥AB.∠A′DB=60°.∴∠DA′E=60°. 又A′D=1.∠DEA′=90°. ∴A′E= 又∵在Rt△ACB中.AC== ∴A′C=AC= ∴Rt△CEA′中.cos∠CA′E===, 即异面直线A′C与BD所成角的余弦值为. 例3 已知三棱锥P-ABC中.PA⊥平面ABC.PA=3.AC=4.PB=PC=BC. (1)求三棱锥P-ABC的体积V, (2)作出点A到平面PBC的垂线段AE.并求AE的长, (3)求二面角A-PC-B的大小. 解 (1)∵PA⊥平面ABC.PB=PC.由射影定理得.AB=AC=4. ∵PA⊥平面ABC.∴PA⊥AC. 在Rt△PAC中.可求出PC=5. 则PB=BC=5. 取BC中点D.连AD. 在等腰△ABC中.求出底边上的高AD=. ∴V=··5··3=. (2)连PD.则PD⊥BC.又AD⊥BC. ∴BC⊥平面PAD. 又BC平面PBC.∴平面PAD⊥平面PBC. 作AE⊥PD于E.则AE⊥平面PBC.AE为点A到平面PBC的垂线段. 在Rt△PAD中.由PA·AD=AE·PD. 得3·=AE·. 求出AE=. (3)作AF⊥PC于F.连EF.由三垂线定理逆定理.得EF⊥PC. ∴∠AFE为二面角A-PC-B的平面角. 在Rt△PAC中.由PA·AC=PC·AF.即3·4=5·AF.求出AF=. ∴sin∠AFE==·=. 则∠AFE=arcsin. 例4 如图7-7.已知三棱柱A1B1C1-ABC的底面是边长为2的正三角形.侧棱A1A与AB.AC均成45°角.且A1E⊥B1B于E.A1F⊥CC1于F. (1)求证:平面A1EF⊥平面B1BCC1, (2)求点A到平面B1BCC1的距离, (3)当AA1多长时.点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等? 解 (1)已知A1E⊥B1B于E.A1F⊥C1C于F. 且∵B1B∥C1C.∴ B1B⊥A1F. 又A1E∩A1F=A1.∴B1B⊥平面A1EF. ∴平面A1EF⊥平面B1BCC1. (2)因为∠A1B1B=∠A1AB=∠A1AC=∠A1C1C=45°. A1B1=A1C1.∠A1EB1=∠A1FC1=90°.A1B1=2. ∴Rt△A1B1E≌Rt△A1C1F. A1E=A1F=. ∴B1E∥C1F.∴EF=B1C1=2. ∴A1E2+A1F2=EF2. ∴△A1EF为等腰直角三角形. 取EF的中点N.连A1N.则A1N⊥EF. ∵A1N⊥平面B1BCC1. ∵A1N为点A1到平面B1BCC1的距离. 又有A1N=EF=1. 所以点A1到平面B1BCC1的距离为1. (3)如图7-8.设BC.B1C1的中点分别为D.D1.连AD.DD1和A1D1.则N∈DD1. ∵DD1∥BB1∥AA1.∴A.A1.D.D1四点共面.∴AD∥A1D1. ∴A1ADD1为平行四边形. ∵B1C1⊥A1D1.A1N⊥平面BCC1B1. ∴B1C1⊥D1D.又B1C1⊥A1N. ∴B1C1⊥平面ADD1A1. ∴BC⊥平面ADD1A1. ∴平面A1ADD1⊥平面ABC. 作A1M⊥平面ABC于M.则点M在AD上. 若A1M=A1N.又∠A1AD=∠A1D1D.∠A1MA=∠A1ND1=90°, 则有Rt△A1MA≌Rt△A1ND1. 于是A1A=A1D1=. 即当A1A=时.点A1到平面ABC和平面B1BCC1的距离相等. 例5 如图7-9.已知:PD⊥平面ABCD.AD⊥DC.AD∥BC.PD∶DC∶BC=1∶1∶. (1)求PB与平面PDC所成角的大小, (2)求二面角D-PB-C的正切值, (3)若AD=BC.求证平面PAB⊥平面PBC. 解 (1)由PD⊥平面ABCD.BC平面ABCD.得PD⊥BC. 由AD⊥DC.AD∥BC.得BC⊥DC. 又PD∩DC=D.则BC⊥平面PDC. 所以∠BPC为直线PB与平面PDC所成的角. 令PD=1.则DC=1.BC=.可求出PC=. 由BC⊥平面PDC.PC平面PDC.得BC⊥PC. 在Rt△PBC中.由PC=BC得∠BPC=45°. 即直线PB与平面PDC所成的角为45°. (2)法一: 如图7-10.取PC中点E.连DE. 则DE⊥PC. 由BC⊥平面PDC.BC平面PBC. 得平面PDC⊥平面PBC. 则DE⊥平面PBC. 作EF⊥PB于F.连DF. 由三垂线定理.得DF⊥PB. 则∠DFE为二面角D-PB-C的平面角. 在Rt△PDC中.求得DE=. 在Rt△PFE中.求得EF=. 在Rt△DEF中.tan∠DFE==. 即二面角D-PB-C的正切值为. 法二: 由PD⊥平面ABCD.PD平面PDB. 得平面PDB⊥平面ABCD. 如图7-11.作CH⊥BD于H.则CH⊥平面PDB. 作HF⊥PB于F.连CF. 由三垂线定理得CF⊥PB. 则∠CFH为二面角D-PB-C的平面角. 在等腰Rt△PBC中.求出斜边上的中线CF=1. 在Rt△DBC中.求出DB==. 可进一步求出斜边上的高CH=. 在Rt△FHC中.求出HF=.∴tan∠HFC==. 即二面角D-PB-C的正切值是. (3)如图7-12.取PB中点G.连AG和EG. 由三角形中位线定理得GE∥BC.GE=BC. 由已知.AD∥BC.AD=BC.∴AD=GE.AD∥GE. 则四边形AGED为平行四边形. ∴AG∥DE. 由.已证出DE⊥平面PBC.∴AG⊥平面PBC. 又AG平面PAB.∴平面PAB⊥平面PBC. 例6 如图7-13.PA⊥平面ABCD.四边形ABCD是矩形.PA=AD=a.M.N分别是AB.PC的中点. (1)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小, (2)求证:MN⊥平面PCD, (3)当AB的长度变化时.求异面直线PC与AD所成角的可能范围. 解 (1)PA⊥平面ABCD.CD⊥AD.∴PD⊥CD. 故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角. 在Rt△PAD中.PA⊥AD.PA=AD.∴∠PDA=45°. (2)如图7-14.取PD中点E.连结AE.EN.又M.N分别是AB.PC的中点. ∴EN∥CD∥AB ∴AMNE是平行四边形 ∴MN∥AE. 在等腰Rt△PAD中.AE是斜边的中线. ∴AE⊥PD. 又CD⊥AD.CD⊥PD ∴CD⊥平面PAD. ∴CD⊥AE. 又PD∩CD=D.∴AE⊥平面PCD. ∴MN⊥平面PCD. (3)∵AD∥BC. 所以∠PCB为异面直线PC.AD所成的角. 由三垂线定理知PB⊥BC.设AB=x. ∴tan∠PCB==. 又∵∈.∴tan∠PCB∈. 又∠PCB为锐角.∴∠PCB∈(.). 即异面直线PC.AD所成的角的范围为(.). 例7 如图7-15.在正三棱柱ABC-A1B1C1中.各棱长都等于a,D.E分别是AC1.BB1的中点. (1)求证:DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段.并求其长度, (2)求二面角E-AC1-C的大小, (3)求点C1到平面AEC的距离. 解 (1)过D在面AC1内作FG∥A1C1分别交AA1.CC1于F.G.则面EFG∥面ABC∥面A1B1C1. ∴△EFG为正三角形.D为FG的中点.ED⊥FG. 连AE. ∵D.E分别为的中点. ∴ .又∵面EFG⊥BB1. ∴ED⊥BB1.故DE为AC1和BB1的公垂线.计算得DE=a. (2)∵AC=CC1.D为AC1的中点.∴CD⊥AC1.又由(1)可知.ED⊥AC1.∴∠CDE为二面角E-AC1-C的平面角.计算得∠CDE=90°.或由(1)可得DE⊥平面AC1.∴平面AEC1⊥平面AC1.∴二面角E-AC1-C为90°. (3)用体积法得点C1到平面ACE的距离为a. 例8 如图7-16.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都是2.侧棱与底面成60°的角.且侧面ABB1A1⊥底面ABC. (1)求证:B1C⊥C1A, (2)求二面角C1-AB-C的大小, (3)求三棱锥B1-ABC1的体积. 解 (1)作B1D⊥AB于D. ∵侧面ABB1A1⊥底面ABC. 又B1D面ABB1A1. ∴B1D⊥底面ABC. ∴∠B1BA=60°. 故△ABB1是正角形. ∴D是AB的中点. 连CD.又△ABC是正三角形. ∴CD⊥AB.又CD是B1C在平面ABC上的射影. ∴B1C⊥AB. 又∵BB1C1C是菱形.∴B1C⊥BC1. 又∵AB∩BC1=B.∴B1C⊥面ABC1. 又∵AC1面ABC1.∴B1C⊥C1A. (2)∵2ACC1A1是菱形. ∴C1A⊥A1C. 又∵B1C∩A1C=C.且由(1)知.∴C1A⊥面A1B1C. ∴C1A⊥A1B1.又AB∥A1B1. ∴C1A⊥AB. 连DE.则DE∥C1A.∴DE⊥AB. 又CD⊥AB.∴∠CDE是二面角C1-AB-C的平面角. 在△CDB1中.CD=B1D=.∠CDB1是直角. 且DE平分∠CDB1.∴∠CDE=45°. 已证B1C⊥面ABC1. ∴B1E是三棱锥B1-ABC1的高.且B1E==. 又∵DE=B1E=. ∴S△ABC=AB×AC1=AB×DE=2×=. ∴V=S△ABC·B1E=··=1. 例9 如图7-17.已知A1B1C1-ABC是正三棱柱.D是AC的中点. (1)证明AB1∥DBC1, (2)假设AB1⊥BC1.BC=2. 求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长. 解 (1)如图7-18.∵A1B1C1-ABC是正三棱柱. ∴四边形B1BCC1是矩形. 连结B1C.交BC1于E.则BE=EC. 连结DE.在△AB1C中.∵AD=DC. ∴DE∥AB1.又AB1平面DBC1. DE平面DBC1.∴AB1∥平面DBC1. (2)作AF⊥BC.垂足为F.因为面ABC⊥面B1BCC1. ∴AF⊥平面B1BCC1.连结B1F.则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影.∵BC1⊥AB1.∴BC1⊥B1F.∵四边形B1BCC1是矩形.∴∠B1BF=∠BCC1=90°.又∠FB1B=∠C1BC.∴△B1BF∽△BCC1. 则==.又F为正三角形ABC的BC边中点.因而B1B2=BF·BC=1×2=2.于是B1F2=B1B2+BF2=3.∴B1F=.即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为. 例10 如图7-19(a).已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形.且∠C1CB=∠BCD=60°. (1)证明:C1C⊥BD, (2)假定CD=2.C1C=.记面C1BD为α.面CBD为β.求二面角α-BD-β的平面角的余弦值, (3)当的值为多少时.能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.. 解 如图7-19连结A1C1.AC.设AC和BD交于O.连 C1O. ∵四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.BC=CD. 又∵∠BCC1=∠DCC1.C1C=C1C.∴△C1BC≌△C1DC. ∴C1B=C1D.∵DO=OB.∴C1O⊥BD.又∵AC⊥BD. AC∩C1O=O.∴BD⊥平面AC1.又C1C平面AC1. ∴C1C⊥BD. 知AC⊥BD.C­1O⊥BD.∴∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角.在△C1BC中.BC=2.C1C=.∠BCC1=60°.∴C1B2=22+()2 –2×2××cos60°=. ∵∠OCB=30°.∴OB=BC=1.∴C1O2=C1B2-OB2=-1=.∴C1O=.即C1O=C1C.作C1H⊥OC.垂足为H.则点H是OC的中点.且OH=.所以cos∠C1OC==. (3)当=1时.能使A1C⊥平面C1BD. 证明一:∵=1.∴BC=CD=C1C.又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD.由此可推得BD=C1B=C1D. ∴三棱锥C-C1BD是正三棱锥. 设A1C与C1O相交于G.∵A1C1∥AC.且A1C1∶OC=2∶1.∴C1G∶GO=2∶1.又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线.∴点G是正三角形C1BD的中心.∴CG⊥平面C1BD.即A1C⊥平面C1BD. 证明二:由(1)知.BD⊥平面AC1.又A1C平面A1C1.∴BD⊥A1C.当=1时.平行六面体的六个面是全等的菱形.同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C.又BD∩BC1=B.∴A1C⊥平面C1BD. 【查看更多】

     

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