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题目列表(包括答案和解析)

已知中，，.设，记.

（1）求的解析式及定义域；

（2）设，是否存在实数，使函数的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【解析】第一问利用（1）如图，在中，由，，

可得，

又AC=2，故由正弦定理得

（2）中

由可得.显然，，则

1当m>0的值域为m+1=3/2,n=1/2

2当m<0，不满足的值域为；

因而存在实数m=1/2的值域为.

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已知数列的前项和为，，，_,则

（A）（B）（C）（D）

【解析】因为，所以由得，，整理得，所以，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，选B.

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求由抛物线与直线及所围成图形的面积.

【解析】首先利用已知函数和抛物线作图，然后确定交点坐标，然后利用定积分表示出面积为，所以得到,由此得到结论为

解：设所求图形面积为，则

=．即所求图形面积为．

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等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃+3S₂=0，则公比q=_______

【解析】显然公比，设首项为，则由，得，即，即，即，所以，解得.

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已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分离参数∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依题意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切线方程为y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切线过点A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

则g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

∴g(x)_极小值＝g(0)＝－6，g(x)_极大值＝g(2)＝2

画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范围是(－6,2)．

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1．（共12 分）解：（I） 6ec8aac122bd4f6e ，，

6ec8aac122bd4f6e = ?

6ec8aac122bd4f6e 2分

6ec8aac122bd4f6e 4分

6ec8aac122bd4f6e = . 5分

又 6ec8aac122bd4f6e 6分

函数 6ec8aac122bd4f6e 的最大值为. 7分

当且仅当 6ec8aac122bd4f6e （Z）时，函数取得最大值为.

（II）由 6ec8aac122bd4f6e （Z）， 9分

得 6ec8aac122bd4f6e （Z）. 11分

函数 6ec8aac122bd4f6e 的单调递增区间为[](Z). 12

2．解：(Ⅰ) 选手甲答 6ec8aac122bd4f6e 道题进入决赛的概率为； ……………1分

选手甲答 6ec8aac122bd4f6e 道题进入决赛的概率为；…………………………3分

选手甲答5道题进入决赛的概率为 6ec8aac122bd4f6e ； …………………5分

∴选手甲可进入决赛的概率 6ec8aac122bd4f6e ++． …………………7分

(Ⅱ)依题意， 6ec8aac122bd4f6e 的可能取值为．则有，

6ec8aac122bd4f6e ，

6ec8aac122bd4f6e ， …………………………10分

因此，有

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e ． ……………………………12分

3．（共12分）解法一：

解：（Ⅰ） 6ec8aac122bd4f6e 且平面.-------------2分

6ec8aac122bd4f6e 为在平面内的射影. --------3分

又 6ec8aac122bd4f6e ⊥, ∴⊥. ----------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ） 6ec8aac122bd4f6e ⊥，又⊥，

∴ 6ec8aac122bd4f6e 为所求二面角的平面角. -------6分

又∵ 6ec8aac122bd4f6e ==4,

∴ 6ec8aac122bd4f6e =4 . ∵=2 , ∴=60°. -------8分

即二面角 6ec8aac122bd4f6e 大小为60°.

（Ⅲ）过 6ec8aac122bd4f6e 作于D，连结,

由（Ⅱ）得平面 6ec8aac122bd4f6e 平面,又平面,

∴平面 6ec8aac122bd4f6e 平面,且平面平面,

∴ 6ec8aac122bd4f6e 平面.

∴ 6ec8aac122bd4f6e 为在平面内的射影.

6ec8aac122bd4f6e . --------10分

在 6ec8aac122bd4f6e 中，，

在 6ec8aac122bd4f6e 中，，.

∴ 6ec8aac122bd4f6e =. ------------11分

所以直线 6ec8aac122bd4f6e 与平面所成角的大小为. ----12分

解法二：解：（Ⅰ）由已知 6ec8aac122bd4f6e ，

以 6ec8aac122bd4f6e 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则 6ec8aac122bd4f6e ,. -------2分

6ec8aac122bd4f6e 则，.

6ec8aac122bd4f6e .

6ec8aac122bd4f6e . ----------------4分

（Ⅱ） 6ec8aac122bd4f6e ，平面.

6ec8aac122bd4f6e 是平面的法向量. -------5分

设侧面 6ec8aac122bd4f6e 的法向量为,

6ec8aac122bd4f6e ,.

6ec8aac122bd4f6e ,

6ec8aac122bd4f6e .令则.

则得平面 6ec8aac122bd4f6e 的一个法向量. ---------6分

6ec8aac122bd4f6e .

即二面角 6ec8aac122bd4f6e 大小为60°. ----------8分

（Ⅲ）由（II）可知 6ec8aac122bd4f6e 是平面的一个法向量. --------10分

又 6ec8aac122bd4f6e ， . -----11分

所以直线 6ec8aac122bd4f6e 与平面所成角为 ---------12分

4．解：（I）函数 6ec8aac122bd4f6e

当 6ec8aac122bd4f6e …………2分

当x变化时， 6ec8aac122bd4f6e 的变化情况如下：

6ec8aac122bd4f6e

―

6ec8aac122bd4f6e

极小值

6ec8aac122bd4f6e

由上表可知，函数 6ec8aac122bd4f6e ；

单调递增区间是 6ec8aac122bd4f6e

极小值是 6ec8aac122bd4f6e …………6分

（II）由 6ec8aac122bd4f6e …………7分

又函数 6ec8aac122bd4f6e 为[1，4]上单调减函数，

则 6ec8aac122bd4f6e 在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立.

即 6ec8aac122bd4f6e 在[1，4]上恒成立. …………10分

又 6ec8aac122bd4f6e 在[1，4]为减函数，

所以 6ec8aac122bd4f6e

所以 6ec8aac122bd4f6e …………12分

5．解：椭圆 6ec8aac122bd4f6e 的左、右焦点分别为、， ……2分

又 6ec8aac122bd4f6e ， , ………3分

解得 6ec8aac122bd4f6e ，

6ec8aac122bd4f6e 椭圆的方程为． ………4分

（Ⅱ）由 6ec8aac122bd4f6e ，得．

设点 6ec8aac122bd4f6e 、的坐标分别为、，则……5分

6ec8aac122bd4f6e ．

（1）当 6ec8aac122bd4f6e 时，点、关于原点对称，则．

（2）当 6ec8aac122bd4f6e 时，点、不关于原点对称，则，

由 6ec8aac122bd4f6e ，得即

6ec8aac122bd4f6e 点在椭圆上，有，

化简，得 6ec8aac122bd4f6e ．

6ec8aac122bd4f6e ，有．………………① ……………7分

又 6ec8aac122bd4f6e ，

6ec8aac122bd4f6e 由，得．……………………………②　　　

将①、②两式，得 6ec8aac122bd4f6e ．

6ec8aac122bd4f6e ，，则且．

综合（1）、（2）两种情况，得实数 6ec8aac122bd4f6e 的取值范围是． ………………8分

（Ⅲ） 6ec8aac122bd4f6e ，点到直线的距离，

6ec8aac122bd4f6e 的面积

6ec8aac122bd4f6e ． ………………………… 10分

由①有 6ec8aac122bd4f6e ，代入上式并化简，得．

6ec8aac122bd4f6e ，． ……………………… 11分

当且仅当 6ec8aac122bd4f6e ，即时，等号成立．

6ec8aac122bd4f6e 当时，的面积最大，最大值为． ……………………… 12分

6．解：（1）

……………………4分

（2）的对称轴垂直于x轴，且顶点为P_n，

∴设的方程为

把，

∴的方程为

∵……………………6分

∴

=…………………………8分

（3）

∴S中最大数a₁=－17.…………………………10分

设公差为d，则a₁₀=

由此得

又∵∴∴

∴……………………12分

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2009届新课标数学考点预测（26）：函数与方程的思想方法

《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。其中数学思想方法包括：函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类整合的思想方法、特殊与一般的思想方法、转化与化归的思想方法、必然与或然的思想方法。数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。

一、函数与方程的思想

所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题。

所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决，方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题。函数思想与方程思想是密不可分的，可以相互转化的。

函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学中，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的．在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。

1、利用函数与方程的性质解题

例1．（2008安徽卷，理,11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）

A． B．

C．

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