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汉诺塔问题是指有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上：（1）每次只能移动1个碟片；（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面．
如图所示，将B杆上所有碟片移到A杆上，C杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将B杆子上的n个碟片移动到A杆上最少需要移动a_n次．
（1）写出a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

1

an+1

+

1

anan+1

，数列{bn}的前n项和为Sn，证明

2

3

≤Sn＜1．

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如图有三根针和套在一根针上的n（n∈N^*）个金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． 
1．每次只能移动1个金属片；                      
2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
现用a_n表示把n个金属片从中间的针移到右边的针上所至少需要移动的次数，请回答下列问题：
（1）写出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）记b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj（i，j∈N^*）；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的积b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和．例：

1≤i≤j≤2

b_ib_j=

b

2 1

+b₁b₂+

b

2 2

=

1

2

[（b₁+b₂）²+（

b

2 1

+

b

2 2

）]
（3）证明：

1

7

≤

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

＜

4

21

（n∈N^*）

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如图所示，在1号管上套着大小不同（从大到小）的n个铁环，按下列规则：①每次移动一个铁环；②较大的铁环不能放在较小铁环的上面．将铁环全部套到3号管上，最少需要移动的次数设为a_n，猜想a_n 的表达式，并加以证明．

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1．（共12 分）解：（I），，

= ?

                                     2分

                                                 4分

= .                                                     5分

又                               6分             

函数的最大值为.                                             7分

当且仅当（Z）时，函数取得最大值为.

（II）由（Z），                          9分

得  （Z）.                                   11分

函数的单调递增区间为[](Z).                     12

2．解：(Ⅰ) 选手甲答道题进入决赛的概率为；    ……………1分

选手甲答道题进入决赛的概率为；…………………………3分

选手甲答5道题进入决赛的概率为；   …………………5分

∴选手甲可进入决赛的概率++．        …………………7分

   (Ⅱ)依题意，的可能取值为．则有，               

，       

， …………………………10分

因此，有

ξ

3

4

5

P

．          ……………………………12分

3．（共12分）解法一：

解：（Ⅰ）且平面.-------------2分                 

为在平面内的射影.         --------3分                                            

又⊥, ∴⊥.            ----------4分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）⊥，又⊥，

∴为所求二面角的平面角.         -------6分

又∵==4,

∴=4 .  ∵=2 , ∴=60°. -------8分

即二面角大小为60°.

（Ⅲ）过作于D，连结,            

由（Ⅱ）得平面平面,又平面,

∴平面平面,且平面平面,

∴平面.

∴为在平面内的射影.

. --------10分

在中，，

在中，，.

∴ =.                       ------------11分                       

所以直线与平面所成角的大小为.         ----12分               

解法二：解：（Ⅰ）由已知，

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.                             

则 ,.            -------2分  

则，.

.     

.       ----------------4分

   （Ⅱ），平面.

是平面的法向量. -------5分

设侧面的法向量为,

,.

,

      .令则.

则得平面的一个法向量.               ---------6分

.       

即二面角大小为60°.     ----------8分

（Ⅲ）由（II）可知是平面的一个法向量.     --------10分

又， .   -----11分                    

所以直线与平面所成角为           ---------12分

4．解：（I）函数

    当  …………2分

    当x变化时，的变化情况如下：

―

0

+

极小值

    由上表可知，函数；

    单调递增区间是

    极小值是         …………6分

   （II）由      …………7分

    又函数为[1，4]上单调减函数，

    则在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立.

    即在[1，4]上恒成立.            …………10分

    又在[1，4]为减函数，

    所以

    所以                   …………12分

5．解：椭圆的左、右焦点分别为、 ，         ……2分

又，  ,      ………3分

解得，                   

椭圆的方程为 ．                       ………4分

   （Ⅱ）由，得．

设点、的坐标分别为、，则……5分

．

   （1）当时，点、关于原点对称，则．

   （2）当时，点、不关于原点对称，则，

由，得       即

点在椭圆上，有，

化简，得．

，有．………………①         ……………7分

又，

由，得．……………………………②　　 　

将①、②两式，得．

，，则且．

综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是． ………………8分

（Ⅲ），点到直线的距离，

的面积

                ．           ………………………… 10分

由①有，代入上式并化简，得．

，．                    ……………………… 11分

当且仅当，即时，等号成立．

当时，的面积最大，最大值为． ……………………… 12分

6．解：（1）

……………………4分

（2）的对称轴垂直于x轴，且顶点为P_n，

∴设的方程为

把，

∴的方程为

∵……………………6分

∴

∴

=…………………………8分

（3）

∴S中最大数a₁=－17.…………………………10分

设公差为d，则a₁₀=

由此得

又∵∴∴

∴……………………12分

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2009届新课标数学考点预测（26）：函数与方程的思想方法

《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。其中数学思想方法包括： 函数与方程的思想方法、 数形结合的思想方法 、 分类整合的思想方法、 特殊与一般的思想方法、 转化与化归的思想方法、 必然与或然的思想方法。数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。

一、函数与方程的思想

所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题。

所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决，方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题。函数思想与方程思想是密不可分的，可以相互转化的。

函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学中，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的．在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。

1、利用函数与方程的性质解题

例1．（2008安徽卷，理,11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（    ）

A．                 B．

C．