.∴求证成立评注:导数是研究函数的工具.导数进入新教材之后.给函数问题注入了生机和活力.开辟了许多解题新途径.拓展了高考对函数问题的命题空间.所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情.对函数的命题已——青夏教育精英家教网—

.∴求证成立评注:导数是研究函数的工具.导数进入新教材之后.给函数问题注入了生机和活力.开辟了许多解题新途径.拓展了高考对函数问题的命题空间.所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情.对函数的命题已不再拘泥于一次函数.二次函数.反比例函数.指数函数.对数函数等.对研究函数的目标也不仅限于求定义域.值域.单调性.奇偶性.对称性.周期性等.而是把高次多项式函数.分式函数.指数型.对数型函数.以及初等基本函数的和.差.积.商都成为命题的对象.试题的命制往往融函数.导数.不等式.方程等知识于一体.通过演绎证明.运算推理等理性思维.解决单调性.极值.最值.切线.方程的根.参数的范围等问题.这类题难度很大.综合性强.内容新.背景新.方法新.是高考命题的丰富宝藏.通过构造函数.以导数为工具.证明不等式.解题技巧是构造辅助函数.把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值.从而证得不等式.而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知函数，，k为非零实数.

（Ⅰ）设t=k²,若函数f(x),g(x)在区间(0,+∞)上单调性相同，求k的取值范围;

（Ⅱ）是否存在正实数k，都能找到t∈[1,2],使得关于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且仅有一个实数根，且在[－5,－1]上至多有一个实数根.若存在，请求出所有k的值的集合；若不存在，请说明理由.

【解析】本试题考查了运用导数来研究函数的单调性，并求解参数的取值范围。与此同时还能对于方程解的问题，转化为图像与图像的交点问题来长处理的数学思想的运用。

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已知函数，曲线在点x=1处的切线为，若时，有极值。

（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值。

【解析】本试题主要考查了导数的几何意义的运用，以及运用导数在研究函数的极值和最值的问题。体现了导数的工具性的作用。

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已知函数，曲线在点x=1处的切线为，若时，有极值。

（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值。

【解析】本试题主要考查了导数的几何意义的运用，以及运用导数在研究函数的极值和最值的问题。体现了导数的工具性的作用。

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已知函数f（x）=，为常数。

（I）当=1时，求f（x）的单调区间；

（II）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求的取值范围。

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问中，利用当a=1时，f（x）=，则f（x）的定义域是然后求导，，得到由，得0＜x＜1；由，得x＞1；得到单调区间。第二问函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，则或在区间[1，2]上恒成立，即即，或在区间[1，2]上恒成立，解得a的范围。

（1）当a=1时，f（x）=，则f（x）的定义域是

。

由，得0＜x＜1；由，得x＞1；

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，上是减函数。……………6分

（2）。若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，

则或在区间[1，2]上恒成立。∴，或在区间[1，2]上恒成立。即，或在区间[1，2]上恒成立。

又h（x）=在区间[1，2]上是增函数。h（x）_max=（2）=，h（x）_min=h（1）=3

即，或。 ∴，或。

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已知函数

（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x²，是否存在实数a，当x∈（0，e](e是自然常数)时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当x∈（0，e]时，证明：

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。第一问中利用函数f（x）在[1，2]上是减函数，的导函数恒小于等于零，然后分离参数求解得到a的取值范围。第二问中，

假设存在实数a，使有最小值3，利用，对a分类讨论，进行求解得到a的值。

第三问中，

因为，这样利用单调性证明得到不等式成立。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ)

（Ⅲ）见解析

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1．（共12 分）解：（I） 6ec8aac122bd4f6e ，，

6ec8aac122bd4f6e = ?

6ec8aac122bd4f6e 2分

6ec8aac122bd4f6e 4分

6ec8aac122bd4f6e = . 5分

又 6ec8aac122bd4f6e 6分

函数 6ec8aac122bd4f6e 的最大值为. 7分

当且仅当 6ec8aac122bd4f6e （Z）时，函数取得最大值为.

（II）由 6ec8aac122bd4f6e （Z）， 9分

得 6ec8aac122bd4f6e （Z）. 11分

函数 6ec8aac122bd4f6e 的单调递增区间为[](Z). 12

2．解：(Ⅰ) 选手甲答 6ec8aac122bd4f6e 道题进入决赛的概率为； ……………1分

选手甲答 6ec8aac122bd4f6e 道题进入决赛的概率为；…………………………3分

选手甲答5道题进入决赛的概率为 6ec8aac122bd4f6e ； …………………5分

∴选手甲可进入决赛的概率 6ec8aac122bd4f6e ++． …………………7分

(Ⅱ)依题意， 6ec8aac122bd4f6e 的可能取值为．则有，

6ec8aac122bd4f6e ，

6ec8aac122bd4f6e ， …………………………10分

因此，有

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e ． ……………………………12分

3．（共12分）解法一：

解：（Ⅰ） 6ec8aac122bd4f6e 且平面.-------------2分

6ec8aac122bd4f6e 为在平面内的射影. --------3分

又 6ec8aac122bd4f6e ⊥, ∴⊥. ----------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ） 6ec8aac122bd4f6e ⊥，又⊥，

∴ 6ec8aac122bd4f6e 为所求二面角的平面角. -------6分

又∵ 6ec8aac122bd4f6e ==4,

∴ 6ec8aac122bd4f6e =4 . ∵=2 , ∴=60°. -------8分

即二面角 6ec8aac122bd4f6e 大小为60°.

（Ⅲ）过 6ec8aac122bd4f6e 作于D，连结,

由（Ⅱ）得平面 6ec8aac122bd4f6e 平面,又平面,

∴平面 6ec8aac122bd4f6e 平面,且平面平面,

∴ 6ec8aac122bd4f6e 平面.

∴ 6ec8aac122bd4f6e 为在平面内的射影.

6ec8aac122bd4f6e . --------10分

在 6ec8aac122bd4f6e 中，，

在 6ec8aac122bd4f6e 中，，.

∴ 6ec8aac122bd4f6e =. ------------11分

所以直线 6ec8aac122bd4f6e 与平面所成角的大小为. ----12分

解法二：解：（Ⅰ）由已知 6ec8aac122bd4f6e ，

以 6ec8aac122bd4f6e 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则 6ec8aac122bd4f6e ,. -------2分

6ec8aac122bd4f6e 则，.

6ec8aac122bd4f6e .

6ec8aac122bd4f6e . ----------------4分

（Ⅱ） 6ec8aac122bd4f6e ，平面.

6ec8aac122bd4f6e 是平面的法向量. -------5分

设侧面 6ec8aac122bd4f6e 的法向量为,

6ec8aac122bd4f6e ,.

6ec8aac122bd4f6e ,

6ec8aac122bd4f6e .令则.

则得平面 6ec8aac122bd4f6e 的一个法向量. ---------6分

6ec8aac122bd4f6e .

即二面角 6ec8aac122bd4f6e 大小为60°. ----------8分

（Ⅲ）由（II）可知 6ec8aac122bd4f6e 是平面的一个法向量. --------10分

又 6ec8aac122bd4f6e ， . -----11分

所以直线 6ec8aac122bd4f6e 与平面所成角为 ---------12分

4．解：（I）函数 6ec8aac122bd4f6e

当 6ec8aac122bd4f6e …………2分

当x变化时， 6ec8aac122bd4f6e 的变化情况如下：

6ec8aac122bd4f6e

―

6ec8aac122bd4f6e

极小值

6ec8aac122bd4f6e

由上表可知，函数 6ec8aac122bd4f6e ；

单调递增区间是 6ec8aac122bd4f6e

极小值是 6ec8aac122bd4f6e …………6分

（II）由 6ec8aac122bd4f6e …………7分

又函数 6ec8aac122bd4f6e 为[1，4]上单调减函数，

则 6ec8aac122bd4f6e 在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立.

即 6ec8aac122bd4f6e 在[1，4]上恒成立. …………10分

又 6ec8aac122bd4f6e 在[1，4]为减函数，

所以 6ec8aac122bd4f6e

所以 6ec8aac122bd4f6e …………12分

5．解：椭圆 6ec8aac122bd4f6e 的左、右焦点分别为、， ……2分

又 6ec8aac122bd4f6e ， , ………3分

解得 6ec8aac122bd4f6e ，

6ec8aac122bd4f6e 椭圆的方程为． ………4分

（Ⅱ）由 6ec8aac122bd4f6e ，得．

设点 6ec8aac122bd4f6e 、的坐标分别为、，则……5分

6ec8aac122bd4f6e ．

（1）当 6ec8aac122bd4f6e 时，点、关于原点对称，则．

（2）当 6ec8aac122bd4f6e 时，点、不关于原点对称，则，

由 6ec8aac122bd4f6e ，得即

6ec8aac122bd4f6e 点在椭圆上，有，

化简，得 6ec8aac122bd4f6e ．

6ec8aac122bd4f6e ，有．………………① ……………7分

又 6ec8aac122bd4f6e ，

6ec8aac122bd4f6e 由，得．……………………………②　　　

将①、②两式，得 6ec8aac122bd4f6e ．

6ec8aac122bd4f6e ，，则且．

综合（1）、（2）两种情况，得实数 6ec8aac122bd4f6e 的取值范围是． ………………8分

（Ⅲ） 6ec8aac122bd4f6e ，点到直线的距离，

6ec8aac122bd4f6e 的面积

6ec8aac122bd4f6e ． ………………………… 10分

由①有 6ec8aac122bd4f6e ，代入上式并化简，得．

6ec8aac122bd4f6e ，． ……………………… 11分

当且仅当 6ec8aac122bd4f6e ，即时，等号成立．

6ec8aac122bd4f6e 当时，的面积最大，最大值为． ……………………… 12分

6．解：（1）

……………………4分

（2）的对称轴垂直于x轴，且顶点为P_n，

∴设的方程为

把，

∴的方程为

∵……………………6分

∴

=…………………………8分

（3）

∴S中最大数a₁=－17.…………………………10分

设公差为d，则a₁₀=

由此得

又∵∴∴

∴……………………12分

本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

2009届新课标数学考点预测（26）：函数与方程的思想方法

《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。其中数学思想方法包括：函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类整合的思想方法、特殊与一般的思想方法、转化与化归的思想方法、必然与或然的思想方法。数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。

一、函数与方程的思想

所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题。

所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决，方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题。函数思想与方程思想是密不可分的，可以相互转化的。

函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学中，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的．在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。

1、利用函数与方程的性质解题

例1．（2008安徽卷，理,11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）

A． B．

C．

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