（此题8、9、10班做）（本小题满分13分）
设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上．
(Ⅰ)求及数列的通项公式；
(Ⅱ) 将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；
（Ⅲ）令（），求证：．

（此题8、9、10班做）（本小题满分13分）

设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上．

 (Ⅰ)求及数列的通项公式；

 (Ⅱ) 将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；

（Ⅲ）令（），求证：．

在本次数学期中考试试卷中共有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分”.某考生每道题都给出一个答案, 且已确定有7道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：

（1）选择题得满分(50分)的概率；

（2）选择题所得分数的数学期望。

【解析】第一问总利用独立事件的概率乘法公式得分为50分，10道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为，

所以得分为50分的概率为：

第二问中，依题意，该考生得分的范围为｛35，40，45，50｝         

得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错，

所以概率为                            

得分为40分的概率为： 

同理求得，得分为45分的概率为： 

得分为50分的概率为：

得到分布列和期望值。

解：（1）得分为50分，10道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为，

所以得分为50分的概率为：                   …………5分

（2）依题意，该考生得分的范围为｛35，40，45，50｝            …………6分

得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错，

所以概率为                              …………7分

得分为40分的概率为：     …………8分

同理求得，得分为45分的概率为：                     …………9分

得分为50分的概率为：                      …………10分

所以得分的分布列为

数学期望