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    4．构造法. 例5 是否存在一个无穷正整数数列a1,<a2<a3<-.使得对任意整数A.数列中仅有有限个素数. [证明] 存在.取an=(n!)3即可.当A=0时.{an}中没有素数,当|A|≥2时.若n≥|A|.则an+A均为|A|的倍数且大于|A|.不可能为素数,当A=±1时.an±1=2±n!+1].当≥3时均为合数.从而当A为整数时.{(n!)3+A}中只有有限个素数. 例6 一个多面体共有偶数条棱.试证:可以在它的每条棱上标上一个箭头.使得对每个顶点.指向它的箭头数目是偶数. [证明] 首先任意给每条棱一个箭头.如果此时对每个顶点.指向它的箭头数均为偶数.则命题成立.若有某个顶点A.指向它的箭头数为奇数.则必存在另一个顶点B.指向它的箭头数也为奇数.对于顶点A与B.总有一条由棱组成的“路径 连结它们.对该路径上的每条棱.改变它们箭头的方向.于是对于该路径上除A.B外的每个顶点.指向它的箭头数的奇偶性不变.而对顶点A.B.指向它的箭头数变成了偶数.如果这时仍有顶点.指向它的箭头数为奇数.那么重复上述做法.又可以减少两个这样的顶点.由于多面体顶点数有限.经过有限次调整.总能使和是对每个顶点.指向它的箭头数为偶数.命题成立. 【查看更多】

     

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