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（本题满分7分）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a，b，A、B两点之间的距离表示为。
　 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图(1)，
　 当A、B两点都不在原点时，
①如图(2)，点A、B都在原点的右边，；
②如图(3)，点A、B都在原点的左边，；
③如图(4)，点A、B都在原点的两边，；
综上，数轴上A、B两点之间的距离。

回答下列问题：
【小题1】(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是   ▲   ．
【小题2】(2)数轴上表示－1和－5的两点之间的距离是   ▲   ；
【小题3】(3)数轴上表示1和－4的两点之间的距离是   ▲   ；
【小题4】(4)数轴上表示x和－1的两点A之和B之间的距离是   ▲   ，如果＝2，那么x的值是   ▲   ．

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（本题满分10分）
如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．

（1）点B的坐标为　 ；用含t的式子表示点P的坐标为    ；(3分)
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(3分)

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一、选择题

1．C       2．C       3．A      4．B       5．A      6．D      7．B       8．A

二、填空题

9．x(x＋2)(x－2)   10．20           11．2.9×10⁹         12．x≤2              13．18    14．70

15．7     16．              17．5            18．23   

三、解答题

19．原式＝－4＋2＋1－2－＋1       …………………………4分

＝－2－．          ……………………………………………8分

20．20．原式＝，                         ……………………………………6分

当x＝时，原式＝3（＋1）．                       ……………………8分

21．（1）旋转中心点P位置如图所示，          ………………………2分

点P的坐标为(0，1)                     ………………………4分

   （2）旋转后的三角形④如图所示．           ………………………8分

22．(1) 100，36               ……………………………………… 4分

   （2）1022                  ………………………………………8分

23．（1）第一次摸的牌

第二次摸的牌

（列表略）…………………………………………………………………………（4分）

（2）P（成轴对称图形）＝    ………………………………………………（8分）

24．（1）x轴处填20，y轴处填1250；………………………………………………（4分）

（2）由图象可知，点A的坐标为（10，－2500），说明妈妈骑车速度为250米/分钟，并返回到家的时间为20分钟，设小欣早晨上学时间为x分钟，则妈妈到家后在B处追到小欣的时间为（x－20）分钟，根据题意，得：50x＝250（x－20），……………（7分）

解得：x＝25，…………………………………………………………………………（9分）

答：小欣早晨上学时间为25分钟．………………………………………………（10分）

25．AB＝×30＝20（海里），              ………………………………………………（2分）

在Rt△ABP中，BP＝＝＝40（海里），………………………………（4分）

∵∠ABP＝60°，∠CBN＝30°，

∴∠PBC＝90°…………………………………………………………………………（5分）

在Rt△BCP中，BC＝1×30＝30（海里），…………………………………………（7分）

∴PC＝＝＝50（海里）．………………………………（9分）

答：P，C之间的距离为50海里．…………………………………………………（10分）

26．（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；     ………………………………（4分）

（2）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P₁（－3，3），……

点P₁（－3，3）关于点B（－4，4）左转弯运动到点P₂（－5，3），

点P₂（－5，3）关于点C（－4，0）左转弯运动到点P₃（－1，1），

点P₃（－1，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P₄（1，1），   ………（6分）

点P₄（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到点P₅（－3，3）， 

点P₅与点P₁重合，点P₆与点P₂重合，……，      ………………………（8分）

点P₂₀₀₈的坐标为（1，1），点P₂₀₀₉的坐标为（－3，3），点P₂₀₁₀的坐标为（－5，3）．          …………………………………………………………………………（10分）

27．（1）△ABP≌△BCQ，△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△BEP≌△CFQ，△ACP≌△BDQ；（从中任写出三对全等三角形）……………………………………3分

如证明△ABP≌△BCQ，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCG＝90°，…………………4分

∵BQ⊥AP，∴∠BAP＝∠CBQ， ……………………………………………………5分

∴△ABP≌△BCQ．……………………………………………………………………6分

证明其它三角形全等可参照给分．

（2）当点P为BC的中点，∠AFB＝∠CFP．  ……………………………………8分

∵BP＝CP，BP＝CQ，∴CP＝CQ，   ………………………………………………9分

∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，………………………10分

∵CF＝CF，∴△CFP≌△CFQ， ……………………………………………………11分

∴∠CPF＝∠CQF，∵∠CQF＝∠APB，∴∠APB＝∠CPF． ……………………12分

证明△BEP≌△CFP可参照给分．

28．（1）令y＝0，得x²－1＝0，解得x＝±1，令x＝0，得y＝－1

∴ A（－1，0），B（1，0），C（0，－1）          ……………………2分

（2）∵OA＝OB＝OC＝1   ∴∠BAC＝∠ACO＝∠BCO＝45°

∵AP∥CB，        ∴∠PAB＝45°

      过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形

令OE＝a，则PE＝a＋1  ∴P（－a，a＋1）

∵点P在抛物线y＝x²－1上 ∴a＋1＝a²－1  

解得a₁＝2，a₂＝－1（不合题意，舍去）
      ∴PE＝3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

∴四边形ACBP的面积＝AB•OC+AB•PE

＝?????????????????????????????????????????????? 6分

（3）假设存在．

∵∠PAB＝∠BAC＝45°   ∴PA⊥AC

∵MGx轴于点G，   ∴∠MGA＝∠PAC＝90°

在Rt△AOC中，OA＝OC＝   ∴AC＝

在Rt△PAE中，AE＝PE＝   ∴AP＝ ???????????????????????????????????????????????????????? 7分

设M点的横坐标m，则M（m，m²－1）

①点M在y轴右侧时，则m＞1

(?) 当△AMG∽△PCA时，有＝

∵AG＝m－1，MG＝m²－1

即 

解得m₁＝1（舍去），m₂＝（舍去）

(?) 当△MAG∽△PCA时有＝

即

解得：m₁＝1（舍去），m₂＝2（舍去）

∴M（2，3）??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

② 点M在y轴左侧时，则m＜－1，

(?) 当△AMG∽△PCA时有＝

∵AG＝－m＋1，MG＝m²－1     

∴   

解得m₁＝1（舍去），m₂＝ 

      ∴M（）

(?) 当△MAG∽△PCA时有＝ 

即

解得： m₁＝－1（舍去），m₂＝－4

∴M（－4，15）

∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似

M点的坐标为（2，3），（），（－4，15）?????????????????????????????????????? 12分