已知函数 R)．

（Ⅰ）若 ，求曲线  在点  处的的切线方程；

（Ⅱ）若  对任意  恒成立，求实数a的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。

第一问中，利用当时，．

因为切点为（）， 则，                 

所以在点（）处的曲线的切线方程为：

第二问中，由题意得，即即可。

Ⅰ）当时，．

，                                  

因为切点为（）， 则，                  

所以在点（）处的曲线的切线方程为：．    ……5分

（Ⅱ）解法一：由题意得，即．      ……9分

（注：凡代入特殊值缩小范围的均给4分）

，           

因为，所以恒成立，

故在上单调递增，                            ……12分

要使恒成立，则，解得．……15分

解法二：                 ……7分

      （1）当时，在上恒成立，

故在上单调递增，

即．                  ……10分

（2）当时，令，对称轴，

则在上单调递增，又    

① 当，即时，在上恒成立，

所以在单调递增，

即，不合题意，舍去  

②当时，， 不合题意，舍去 14分

综上所述： 

若函数在定义域内存在区间，满足在上的值域为，则称这样的函数为“优美函数”.

（Ⅰ）判断函数是否为“优美函数”？若是，求出；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若函数为“优美函数”，求实数的取值范围．

【解析】第一问中，利用定义，判定由题意得，由，所以

第二问中， 由题意得方程有两实根

设所以关于m的方程在有两实根，

即函数与函数的图像在上有两个不同交点，从而得到t的范围。

解（I）由题意得，由，所以     （6分）

（II）由题意得方程有两实根

设所以关于m的方程在有两实根，

即函数与函数的图像在上有两个不同交点。

已知正数数列{a_n }中，a₁ =2.若关于x的方程 （）对任意自然数n都有相等的实根．

(1)求a₂ ,a₃的值；

(2)求证

【解析】(1)中由题意得△，即,进而可得,. 

(2)中由于，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，知数列是以为首项，公比为的等比数列，利用裂项求和得到不等式的证明。

(1)由题意得△，即,进而可得   

(2)由于，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，知数列是以为首项，公比为的等比数列，于是

,

所以

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存过点（2,1）的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【解析】第一问利用设椭圆的方程为，由题意得

解得

第二问若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得

．

因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

所以

所以．解得。

解：⑴设椭圆的方程为，由题意得

解得，故椭圆的方程为．……………………4分

⑵若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得

．

因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

所以

所以．

又，

因为，即，

所以．

即．

所以，解得．

因为A,B为不同的两点，所以k=1/2．

于是存在直线L₁满足条件，其方程为y=1/2x