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如图，

BC

的大小是

AB

大小的k倍，

BC

的方向由

AB

的方向逆时针旋转θ角得到，则我们称

AB

经过一次（θ，k）延伸得到

BC

． 已知

OA1

=(1，0)
（1）向量

OA1

经过2次(

π

2

，

1

2

)延伸，分别得到向量

A1A2

、

A2A3

，求

A1A2

、

A2A3

的坐标．
（2）向量

OA1

经过n-1次(

π

2

，

1

2

)延伸得到的最后一个向量
为

An-1An

，（n∈N^*，n＞1），设点A_n（x_n，y_n），求A_n的极限位置A(

lim

n→∞

xn，

lim

n→∞

yn)
（3）向量

OA1

经过2次（θ，k）延伸得到向量

A1A2

、

A2A3

，其中k＞0，θ∈（0，π），若

OA1

、

A1A2

、

A2A3

恰能够构成一个三角形（即A₃与O重合），求θ，k的值．

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一、选择题（每题5分共50分）

1．D            2．A            3．Ｂ           4．C            5．C           

6．Ｃ       7．Ｂ        8．Ｃ    9．C    10．D

二、填空题（每题5分共20分）

       11．          12．                 13．                  

14．（0，2），               15．3

三、解答题（共80分）

16．解：（Ⅰ）由已知得：，  

又是△ABC的内角，所以．    

（2）由正弦定理：，

又因为，，又是△ABC的内角，所以．

17．证明：连结AB，A₁D，在正方形中，A₁B=A₁D，O是BD中点，

∴A₁O⊥BD；                 

连结OM，A₁M，A₁C₁，设AB=a，则AA₁=a，MC=a=MC₁

OA=OC=a，AC=a，

∴A₁O²=A₁A²+AO²=a²+a²=a²，OM²=OC²+MC²=a²，A₁M²=A₁C₁²+MC₁²=2a²+a²=a²,∴A₁M²=A₁O²+OM²，

∴A₁O⊥OM，  

∴AO₁⊥平面MBD

18解：（Ⅰ），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

当时，；

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范围为．

19．解（Ⅰ）由题意知，　　　  

当n≥2时，，，

两式相减得

整理得：   　

∴数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列。

∴　　　

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴b_n=n　　

， …………①

， …………②

①－②得

， 　　

∴， 　　　

∴， 　　

20．解：设这台机器最佳使用年限是n年,则n年的保养、维修、更换易损零件的总费用为：

，

等号当且仅当

答：这台机器最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为1.55万元．

21．⑴c=2, a=3 双曲线的方程为

⑵ 得 (1?3k²)x²?6kx?9=0

  x₁＋x₂= , x₁x₂=

由△>0 得 k²<1

  由= x₁x₂＋y₁y₂=(1＋k²) x₁x₂＋k(x₁＋x₂)＋2>2得 <k²<3

  所以，<k²<1

即k∈(?1, )∪( , 1 )

附加题

(1)证明：先将变形：,

当，即时，∴恒成立，

故的定义域为。                                     

反之，若对所有实数都有意义，则只须。

令，即，解得，故。  

(2)解析：设，

∵是增函数，

∴当最小时，最小。

而，                               

 显然，当时，取最小值为，

此时为最小值。                      

(3)证明：当时，，

当且仅当m=2时等号成立。                                  

∴。