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(本小题满分12分)

如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，过点A₁，B，M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N.
（Ⅰ）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（Ⅱ）求二面角B—A₁N—B₁的正切值.

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(本小题满分12分)
如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1,且AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

(1)证明：PN⊥AM
(2)若，求直线AA₁与平面PMN所成角的正弦值.

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一.选择题:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

D

A

D

C

D

A

C

B

A

C

B

二.填空题:

13. 7 ;14.;15. ;16①②③④

三.解答题:

18. 记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C三次均未命中目标的事件为D．依题意． 设在处击中目标的概率为，则，由

时，所以，， 2分   ，

，，．

5 分

（Ⅰ）由于各次射击都是独立的，所以该射手在三次射击击中目标的概率为

，

＝．  8分

（Ⅱ）依题意，设射手甲得分为，则，，

，，所以的分布列为

０

１

２

３

所以。    12分

20. （Ⅰ）证明：连结交于点，连结.

在正三棱柱中，四边形是平行四边形，

∴.

∵，

∴∥.   ………………………2分

      ∵平面，平面，

∴∥平面.       …………………………4分

(Ⅱ）过点作交于，过点作交于，连结.

∵平面平面，平面，平面平面，

      ∴平面.

∴是在平面内的射影.

∴.

∴是二面角的平面角.  

在直角三角形中，.

同理可求： .

∴.

∵，

∴.   …………………………12分

21.（Ⅰ），令，解得或，1分   

当时，，为增函数；当时，为减函数；当时，为增函数。4分  当时，取得极大值为-4，当时，取处极小值为。…………………………6分

（Ⅱ）设，在上恒成立.

,,若,显然。 8分   若,

,令,解得,或,当时,

,当时,.10分  

 当时,.

即,解不等式得,,当时,

满足题意.综上所述的范围为…………...12分